高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)

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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第1講 變化率與導(dǎo)數(shù) 【知識(shí)梳理】 1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即． 【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1．求平均變化率 【例1】若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 (　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟: （1）求函數(shù)的增量；（2）計(jì)算平均變化率 考點(diǎn)2 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率 【例2】自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．v是在0～1 s這段時(shí)間內(nèi)的速度 B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速度 C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速度 D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 【例3】某物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為(　　) A.米/秒　　　B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒 考點(diǎn)3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù) 【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡(jiǎn)記為：一差、二化、三趨近． 2．求函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，此方法是常用方法． 變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 【例5】（ ） A. B. C. D. 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 2．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（　?。? A．　 B．　　 C． 　D． 3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時(shí)間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ） A. B. C. D. 4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 6．設(shè)，若，則的值（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是　　　　　　　　　 8．一小球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______． 9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4 s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4 s時(shí)的瞬時(shí)速度． 10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 11．若，求 ． 12．是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且，求的表達(dá)式．  2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)（教師版） 【知識(shí)梳理】 1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即． 【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1．求平均變化率 【例1】若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 (　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 解析：＝＝＝＝4.1，故應(yīng)選B. 【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟: （1）求函數(shù)的增量；（2）計(jì)算平均變化率 知識(shí)點(diǎn)2 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率 【例2】自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．v是在0～1 s這段時(shí)間內(nèi)的速度 B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速度 C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速度 D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 【解析】　由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故應(yīng)選D. 【例3】某物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為(　　) A.米/秒　　　B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒 【解析】∵＝＝＝Δt＋8－， ∴ ＝8－＝. 故選B. 考點(diǎn)3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù) 【解析】法一　∵Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋)＝Δx－1＋＝，∴＝. ∴y′|x＝1＝ ＝ ＝0. 法二　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)＝Δx－＋＝， ∴y′＝ ＝ ＝＝1－. ∴y′|x＝1＝1－1＝0. 【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡(jiǎn)記為：一差、二化、三趨近． 2．求函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，此方法是常用方法． 變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 解析：法一　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2. 法二　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－x2＝2Δxx＋(Δx)2，∴ ＝＝2x＋Δx. ∴，∴ ，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2. 【例5】（ ） A. B. C. D. 【解析】，故選B. 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 【解析】D錯(cuò)誤，應(yīng)為t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，選D 2．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（　　） A．　 B．　　 C． 　D． 2. 解析】D. 3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時(shí)間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ） A. B. C. D. 【解析】B 4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【解析】＝＝＝3x2＋3Δxx＋(Δx)2，∴ ＝3x2，∴y′|x＝1＝3. 5．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 【答案】　B 【解析】　Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0Δx＋3Δx2＋6Δx， ∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.，∴x0＝－1，y0＝－2. 6．設(shè)，若，則的值（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【解析】A 7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是　　　　　　　　　 3.【答案】 17.5 8．一小球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______． 【答案】　10米/秒 【解析】v′(5)＝ ＝ (10＋Δt)＝10. 9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4 s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4 s時(shí)的瞬時(shí)速度． 【解析】自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到t s時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，故前4 s物體的平均速度為(4)＝34＋2＋＝15(m/s). 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2. ＝ (2＋6t＋3Δt)＝2＋6t， ∴4 s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為2＋64＝26(m/s). 10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解析：， ． 11．若，求 ． 解析： = 所以：f’(2)= 12．設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且，求的表達(dá)式． 解析：設(shè)，則 解得，所以。