高考數學基礎突破 導數與積分 第1講 變化率與導數

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2017年高考數學基礎突破——導數與積分 第1講 變化率與導數 【知識梳理】 1．函數在x＝x0處的導數 (1)定義：稱函數在x＝x0處的瞬時變化率為函數在x＝x0處的導數，記作或，即． 【基礎考點突破】 考點1．求平均變化率 【例1】若一質點按規(guī)律運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是 (　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 【歸納總結】求函數的平均變化率的步驟: （1）求函數的增量；（2）計算平均變化率 考點2 瞬時速度與瞬時變化率 【例2】自由落體運動的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說法正確的是(　　) A．v是在0～1 s這段時間內的速度 B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速度 C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度 D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度 【例3】某物體作直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為(　　) A.米/秒　　　B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒 考點3．定義法求函數的導數 【例4】.求函數y＝x＋在x＝1處的導數 【歸納小結】1．求導方法簡記為：一差、二化、三趨近． 2．求函數在某一點導數的方法有兩種：一種是直接求出函數在該點的導數；另一種是求出導函數，再求導數在該點的函數值，此方法是常用方法． 變式訓練1．用定義求函數f(x)＝x2在x＝1處的導數． 【例5】（ ） A. B. C. D. 【基礎練習鞏固】 1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內，下列說法錯誤的是(　　) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時間內物體的平均速度 C．不一定與Δt有關 D． 叫做這段時間內物體的平均速度 2．設函數，當自變量由改變到時，函數的改變量為（　　） A．　 B．　　 C． 　D． 3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時間內氣溫變化率為（℃/min） （ ） A. B. C. D. 4．.函數y＝x3在x＝1處的導數為(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 6．設，若，則的值（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 7．函數在處有增量，則在到上的平均變化率是　　　　　　　　　 8．一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________． 9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運動，求自運動開始到4 s時物體運動的平均速度和4 s時的瞬時速度． 10．求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數． 11．若，求 ． 12．是二次函數，方程有兩個相等的實根，且，求的表達式．  2017年高考數學基礎突破——導數與積分 第1講 變化率與導數（教師版） 【知識梳理】 1．函數在x＝x0處的導數 (1)定義：稱函數在x＝x0處的瞬時變化率為函數在x＝x0處的導數，記作或，即． 【基礎考點突破】 考點1．求平均變化率 【例1】若一質點按規(guī)律運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是 (　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 解析：＝＝＝＝4.1，故應選B. 【歸納總結】求函數的平均變化率的步驟: （1）求函數的增量；（2）計算平均變化率 知識點2 瞬時速度與瞬時變化率 【例2】自由落體運動的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說法正確的是(　　) A．v是在0～1 s這段時間內的速度 B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速度 C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度 D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度 【解析】　由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故應選D. 【例3】某物體作直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為(　　) A.米/秒　　　B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒 【解析】∵＝＝＝Δt＋8－， ∴ ＝8－＝. 故選B. 考點3．定義法求函數的導數 【例4】.求函數y＝x＋在x＝1處的導數 【解析】法一　∵Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋)＝Δx－1＋＝，∴＝. ∴y′|x＝1＝ ＝ ＝0. 法二　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)＝Δx－＋＝， ∴y′＝ ＝ ＝＝1－. ∴y′|x＝1＝1－1＝0. 【歸納小結】1．求導方法簡記為：一差、二化、三趨近． 2．求函數在某一點導數的方法有兩種：一種是直接求出函數在該點的導數；另一種是求出導函數，再求導數在該點的函數值，此方法是常用方法． 變式訓練1．用定義求函數f(x)＝x2在x＝1處的導數． 解析：法一　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，即f(x)＝x2在x＝1處的導數f′(1)＝2. 法二　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－x2＝2Δxx＋(Δx)2，∴ ＝＝2x＋Δx. ∴，∴ ，即f(x)＝x2在x＝1處的導數f′(1)＝2. 【例5】（ ） A. B. C. D. 【解析】，故選B. 【基礎練習鞏固】 1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內，下列說法錯誤的是(　　) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時間內物體的平均速度 C．不一定與Δt有關 D． 叫做這段時間內物體的平均速度 【解析】D錯誤，應為t＝t0時的瞬時速度，選D 2．設函數，當自變量由改變到時，函數的改變量為（　?。? A．　 B．　　 C． 　D． 2. 解析】D. 3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時間內氣溫變化率為（℃/min） （ ） A. B. C. D. 【解析】B 4．.函數y＝x3在x＝1處的導數為(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【解析】＝＝＝3x2＋3Δxx＋(Δx)2，∴ ＝3x2，∴y′|x＝1＝3. 5．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 【答案】　B 【解析】　Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0Δx＋3Δx2＋6Δx， ∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.，∴x0＝－1，y0＝－2. 6．設，若，則的值（ ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【解析】A 7．函數在處有增量，則在到上的平均變化率是　　　　　　　　　 3.【答案】 17.5 8．一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________． 【答案】　10米/秒 【解析】v′(5)＝ ＝ (10＋Δt)＝10. 9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運動，求自運動開始到4 s時物體運動的平均速度和4 s時的瞬時速度． 【解析】自運動開始到t s時，物體運動的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，故前4 s物體的平均速度為(4)＝34＋2＋＝15(m/s). 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2. ＝ (2＋6t＋3Δt)＝2＋6t， ∴4 s時物體的瞬時速度為2＋64＝26(m/s). 10．求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數． 解析：， ． 11．若，求 ． 解析： = 所以：f’(2)= 12．設是二次函數，方程有兩個相等的實根，且，求的表達式． 解析：設，則 解得，所以。