高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 46 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（一）學(xué)案 理

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第四十六課時 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (一) 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解直線的方向向量與平面的法向量。 2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。 3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理。 4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 基礎(chǔ)知識梳理 1.用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則或與重合_____________. ②已知兩個不共線向量，與平面共面，直線的一個方向向量為，則或在內(nèi)__________________________________. ③已知兩個不共線的向量，與平面共面，則或與重合__________________________________. 2.用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直 設(shè)直線和的方向向量分別為和，則_____________. 3.用向量運(yùn)算求兩條直線所成的角 設(shè)直線和的方向向量分別為和，直線和所成的角為，則與的關(guān)系是_____________，即_____________.兩條異面直線所成角的范圍是_______. 4.用平面的法向量證明兩個平面平行或垂直 設(shè)分別是平面的法向量，則或與重合_________________；__________________________. 5.直線與平面的夾角 (1)_________________________________________叫做斜線和平面所成的角,斜線和平面所成的角是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中_____________． (2)直線與平面所成角的范圍是________________. (3)若斜線與它在平面內(nèi)射影的夾角為,此射影與平面內(nèi)直線的夾角為,斜線與平面內(nèi)該直線的夾角為,則之間的關(guān)系是_____________． 6.利用平面的法向量求直線和平面所成的角 直線的方向向量，平面α的法向量為，與α所成的角為，則sin=． 預(yù)習(xí)自測 1、以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是( ) A、等腰直角三角形 B、等邊三角形 C、直角三角形 D、無法判斷 2、已知，則向量與的夾角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、正方體中，與平面所成角的余弦值為( ) A、 B、 C、 D、 4、在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是 ( ) A． B． C． D． . 5、設(shè)，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為 . 6、已知，求平面的一個法向量. 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1：利用向量證明平行與垂直問題 【典例1】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （1）求證：AF∥平面BDE； （2）求證：CF⊥平面BDE。 考點(diǎn)2 利用向量求兩條異面直線所成的角 【典例2】【2012上?！咳鐖D，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，， 求：（1）三角形的面積； （2）異面直線與所成的角的大小。 考點(diǎn)3：利用向量求直線與平面所成的角 【典例3】如圖,三棱柱中,，,. (1)證明：； (2)若平面⊥平面,,求直線與平面所成角的正弦值. 【變式1】 如圖，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且 （1）證明：平面平面; （2）求直線AD和平面所成角的正弦值。 當(dāng)堂檢測 1、已知正四棱柱中，=，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( ) （A） (B) (C) (D) 2、如圖,在直棱柱, ,. (1)證明:；(2)求直線與平面所成角的正弦值. 課后拓展案 A組全員必做題 1、正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 2、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ） (A) (B) (C) (D) 3、如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ） A. B. C. D. B組 4、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)。 （1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值； （2）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F//平面A1BE？證明你的結(jié)論。 A D B C A1 D1 B1 C1 E B組提高選做題 在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論． 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.A 2.A 3.D 4.C 5.或 6.解：設(shè)為平面的一個法向量， 則即∴令， 得，即平面的一個法向量為． 典型例題 【典例1】證明：（1）設(shè)、交點(diǎn)為，連接， ∵正方形邊長為， ∴，， 又， ∴四邊形為平行四邊形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）∵平面⊥平面，平面平面，平面，⊥， ∴⊥平面， ∴⊥，⊥， 以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，． ∴，，． ∵，， ∴⊥，⊥， 又， ∴⊥平面． 【典例2】解：（1）∵為矩形，∴⊥． ∵⊥底面，平面， ∴⊥． 又∵， ∴⊥平面，∴ ∴． （2）， ∴． ，， ∴， ∴，即異面直線與所成的角大小為． 【典例3】 （1）證明：取中點(diǎn)，連接、、． ∵，∴⊥， ∵，∴， 又∵∠， ∴， ∴， ∴∠， ∴⊥． 又∵， ∴⊥平面， ∴⊥． （2）解：∵平面⊥平面， ∴⊥平面， ∴，，兩兩垂直． 以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， ∴，，． 設(shè)為平面的一個法向量，則即∴ 令，則，設(shè)直線與平面所成角為， ∴． 【變式1】（1）證明：∵該棱柱為正三棱柱， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 又， ∴⊥平面， ∵平面， ∴平面⊥平面． （2）解：取中點(diǎn)，中點(diǎn),連接,． 以為原點(diǎn)，，,所在直線為軸，軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）， 則，，，．　 , ∴，，. 設(shè)為平面的一個法向量，則∴ ∴令，則， ∴. 設(shè)直線與平面所成角為， ∴ ， 故直線與平面所成角的正弦值為. 當(dāng)堂檢測 １．C ２．（1）證明：∵該棱柱為直棱柱， ∴平面， ∵平面， ∴， 又，， ∴平面， ∵平面， ∴. （2） 分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=，則，，，， ∴，， ∴，∴， ∴，，，， 則，，． 設(shè)為平面的一個法向量， 則∴∴令，則． 設(shè)直線與平面所成的角為， ∴． A組全員必做題 1.D 2.A 3.A 4.解：分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）， 設(shè)棱長為2，則，，平面的一個法向量，∴． （1）設(shè)直線與平面所成角為， 則． （2），， ∴，． 設(shè)為平面的一個法向量，則 即整理得令，得． 設(shè)，則，∴，解得， 即是棱中點(diǎn)時，平面． B組提高選做題 (1)證明　如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、 C(0，a,0)、E、 P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設(shè)G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則 由＝(a,0,0) ＝a＝0，得x＝； 由＝(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)． - 152 -