高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 46 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(一)學(xué)案 理
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第四十六課時(shí) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (一) 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解直線的方向向量與平面的法向量。 2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。 3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理。 4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1.用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和,則或與重合_____________. ②已知兩個(gè)不共線向量,與平面共面,直線的一個(gè)方向向量為,則或在內(nèi)__________________________________. ③已知兩個(gè)不共線的向量,與平面共面,則或與重合__________________________________. 2.用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直 設(shè)直線和的方向向量分別為和,則_____________. 3.用向量運(yùn)算求兩條直線所成的角 設(shè)直線和的方向向量分別為和,直線和所成的角為,則與的關(guān)系是_____________,即_____________.兩條異面直線所成角的范圍是_______. 4.用平面的法向量證明兩個(gè)平面平行或垂直 設(shè)分別是平面的法向量,則或與重合_________________;__________________________. 5.直線與平面的夾角 (1)_________________________________________叫做斜線和平面所成的角,斜線和平面所成的角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中_____________. (2)直線與平面所成角的范圍是________________. (3)若斜線與它在平面內(nèi)射影的夾角為,此射影與平面內(nèi)直線的夾角為,斜線與平面內(nèi)該直線的夾角為,則之間的關(guān)系是_____________. 6.利用平面的法向量求直線和平面所成的角 直線的方向向量,平面α的法向量為,與α所成的角為,則sin=. 預(yù)習(xí)自測(cè) 1、以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是( ) A、等腰直角三角形 B、等邊三角形 C、直角三角形 D、無法判斷 2、已知,則向量與的夾角是( ) A、 B、 C、 D、 3、正方體中,與平面所成角的余弦值為( ) A、 B、 C、 D、 4、在三棱柱中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)是側(cè)面的中心,則與平面所成角的大小是 ( ) A. B. C. D. . 5、設(shè),則與平行的單位向量的坐標(biāo)為 . 6、已知,求平面的一個(gè)法向量. 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1:利用向量證明平行與垂直問題 【典例1】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求證:AF∥平面BDE; (2)求證:CF⊥平面BDE。 考點(diǎn)2 利用向量求兩條異面直線所成的角 【典例2】【2012上?!咳鐖D,在四棱錐中,底面是矩形,底面,是的中點(diǎn),已知,,, 求:(1)三角形的面積; (2)異面直線與所成的角的大小。 考點(diǎn)3:利用向量求直線與平面所成的角 【典例3】如圖,三棱柱中,,,. (1)證明:; (2)若平面⊥平面,,求直線與平面所成角的正弦值. 【變式1】 如圖,在正三棱柱中,AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且 (1)證明:平面平面; (2)求直線AD和平面所成角的正弦值。 當(dāng)堂檢測(cè) 1、已知正四棱柱中,=,為中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為( ) (A) (B) (C) (D) 2、如圖,在直棱柱, ,. (1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值. 課后拓展案 A組全員必做題 1、正四棱柱中,,則異面直線與所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 2、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等,則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) (A) (B) (C) (D) 3、如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,,則直線與直線夾角的余弦值為( ) A. B. C. D. B組 4、如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn)。 (1)求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值; (2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F,使B1F//平面A1BE?證明你的結(jié)論。 A D B C A1 D1 B1 C1 E B組提高選做題 在四棱錐P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥CD; (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論. 參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1.A 2.A 3.D 4.C 5.或 6.解:設(shè)為平面的一個(gè)法向量, 則即∴令, 得,即平面的一個(gè)法向量為. 典型例題 【典例1】證明:(1)設(shè)、交點(diǎn)為,連接, ∵正方形邊長為, ∴,, 又, ∴四邊形為平行四邊形, ∴, 又∵平面,平面, ∴平面. (2)∵平面⊥平面,平面平面,平面,⊥, ∴⊥平面, ∴⊥,⊥, 以,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,. ∴,,. ∵,, ∴⊥,⊥, 又, ∴⊥平面. 【典例2】解:(1)∵為矩形,∴⊥. ∵⊥底面,平面, ∴⊥. 又∵, ∴⊥平面,∴ ∴. (2), ∴. ,, ∴, ∴,即異面直線與所成的角大小為. 【典例3】 (1)證明:取中點(diǎn),連接、、. ∵,∴⊥, ∵,∴, 又∵∠, ∴, ∴, ∴∠, ∴⊥. 又∵, ∴⊥平面, ∴⊥. (2)解:∵平面⊥平面, ∴⊥平面, ∴,,兩兩垂直. 以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則,,,, ∴,,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則即∴ 令,則,設(shè)直線與平面所成角為, ∴. 【變式1】(1)證明:∵該棱柱為正三棱柱, ∴⊥平面, ∵平面, ∴, 又, ∴⊥平面, ∵平面, ∴平面⊥平面. (2)解:取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,. 以為原點(diǎn),,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略), 則,,,. , ∴,,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則∴ ∴令,則, ∴. 設(shè)直線與平面所成角為, ∴ , 故直線與平面所成角的正弦值為. 當(dāng)堂檢測(cè) 1.C 2.(1)證明:∵該棱柱為直棱柱, ∴平面, ∵平面, ∴, 又,, ∴平面, ∵平面, ∴. (2) 分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)=,則,,,, ∴,, ∴,∴, ∴,,,, 則,,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量, 則∴∴令,則. 設(shè)直線與平面所成的角為, ∴. A組全員必做題 1.D 2.A 3.A 4.解:分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略), 設(shè)棱長為2,則,,平面的一個(gè)法向量,∴. (1)設(shè)直線與平面所成角為, 則. (2),, ∴,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則 即整理得令,得. 設(shè),則,∴,解得, 即是棱中點(diǎn)時(shí),平面. B組提高選做題 (1)證明 如圖,以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a,a,0)、 C(0,a,0)、E、 P(0,0,a)、F. =,=(0,a,0). ∵=0,∴⊥,即EF⊥CD. (2)解 設(shè)G(x,0,z),則=, 若使GF⊥平面PCB,則 由=(a,0,0) =a=0,得x=; 由=(0,-a,a) =+a=0,得z=0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn). - 152 -- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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