高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 新人教A版選修4-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．AB是⊙O的切線，在下列給出的條件中，能判定AB⊥CD的是(　　) A．AB與⊙O相切于直線CD上的點(diǎn)C B．CD經(jīng)過(guò)圓心O C．CD是直徑 D．AB與⊙O相切于C，CD過(guò)圓心O 【解析】　圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑． 【答案】　D 2．已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30，過(guò)C點(diǎn)的切線PC與AB的延長(zhǎng)線交于P，PC＝5，則⊙O的半徑是(　　) A.　　　　　　　 B. C．10 D．5 【解析】　如圖，連接OC， ∠PAC＝30， 由圓周角定理知， ∠POC＝2∠PAC＝60， 由切線性質(zhì)知∠OCP＝90. ∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝. ∴OC＝＝＝. 【答案】　A 3．如圖2313，CD切⊙O于B，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于A，若∠C＝36，則∠ABD的度數(shù)是(　　) 圖2313 A．72　　　　 B．63 C．54 D．36 【解析】　連接O B. ∵CD為⊙O的切線，∴∠OBC＝90. ∵∠C＝36，∴∠BOC＝54. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27＋36＝63. 【答案】　B 4.如圖2314所示，⊙O是正△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn)，則∠EPF＝(　　) 圖2314 A．120 B．90 C．60 D．30 【解析】　如圖所示，連接OE，OF. ∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90， ∴∠EOF＋∠ABC＝180， ∴∠EOF＝120，∴∠EPF＝∠EOF＝60. 【答案】　C 5．如圖2315所示，AC切⊙O于D，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝(　　) 圖2315 A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶1.5 【解析】　如圖所示，連接OD，OC，則OD⊥AC. ∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90. ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC. ∵＝，∴AD＝DC， ∴BC＝AC. 又OB⊥BC，∴∠A＝30， ∴OB＝OD＝AO，∴＝. 【答案】　A 二、填空題 6.如圖2316，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點(diǎn)分別為E，C.則⊙O的半徑是________． 圖2316 【解析】　連接OE，設(shè)OE＝r， ∵OC＝OE＝r，BC＝12， 則BO＝12－r，AB＝＝13， 由△BEO∽△BCA，得＝， 即＝，解得r＝. 【答案】　 7．如圖2317，在半徑分別為5 cm和3 cm的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm. 圖2317 【解析】　連接OA，OC， ∵AB是小圓的切線， ∴OC⊥AB，∴AC＝A B. ∵在Rt△AOC中， AC＝＝4(cm)， ∴AB＝8 cm. 【答案】　8 8．如圖2318所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA＝________. 圖2318 【解析】　連接OA.∵AP為⊙O的切線， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30，∴∠AOC＝60. ∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OAtan 60＝. 【答案】　 三、解答題 9.如圖2319，已知D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45，∠ADB＝60，求證：AB是△BCD的外接圓的切線. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370040】 圖2319 【證明】　如圖，連接OB，OC，OD，設(shè)OD交BC于E. 因?yàn)椤螪CB是所對(duì)的圓周角， ∠BOD是所對(duì)的圓心角， ∠BCD＝45， 所以∠BOD＝90. 因?yàn)椤螦DB是△BCD的一個(gè)外角， 所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60－45＝15， 所以∠DOC＝2∠DBC＝30， 從而∠BOC＝120. 因?yàn)镺B＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30. 在△OEC中， 因?yàn)椤螮OC＝∠ECO＝30， 所以O(shè)E＝EC. 在△BOE中，因?yàn)椤螧OE＝90，∠EBO＝30，所以BE＝2OE＝2EC， 所以＝＝， 所以AB∥OD，所以∠ABO＝90， 故AB是△BCD的外接圓的切線． 10．如圖2320，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE. 圖2320 (1)求證：PC是⊙O的切線； (2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半徑． 【解】　(1)證明：在△OCP與△CEP中， ∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， ∴∠OCP＝∠CEP. ∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90， ∴∠OCP＝90. 又∵C點(diǎn)在圓上，∴PC是⊙O的切線． (2)法一：設(shè)OE＝x，則EA＝2x，OC＝OA＝3x. ∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90， ∴△OCE∽△OPC， ∴＝， 即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1， ∴OA＝3x＝3，即圓的半徑為3. 法二：由(1)知PC是⊙O的切線， ∴∠OCP＝90. 又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OEOP，以下同法一． [能力提升] 1．如圖2321，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)B點(diǎn)的切線與AD的延長(zhǎng)線交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO等于(　　) 圖2321 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　連接BD，則BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45. ∵BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B， ∴∠OBC＝90. ∴sin∠BCO＝＝＝， cos ∠BCO＝＝＝. ∴sin∠ACO＝sin(45－∠BCO) ＝sin45cos ∠BCO－cos 45sin ∠BCO ＝－＝. 【答案】　A 2．如圖2322所示，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB＝1，則圓O的半徑R＝__________. 圖2322 【解析】　AB＝＝. 由AB2＝PBBC， ∴BC＝3，Rt△ABC中， AC＝＝2， ∴R＝. 【答案】　 3．圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l，圓交于點(diǎn)D，E，則∠DAC＝__________，DC＝__________. 【解析】　連接OC， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90， ∠ACO＋∠OCB＝90， ∴∠DCA＝∠OCB. ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB是正三角形， ∴∠OBC＝60，即∠DCA＝60， ∴∠DAC＝30. 在Rt△ACB中，AC＝＝3， DC＝ACsin 30＝ . 【答案】　30　 4．如圖2323，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)D，AB，AC與圓分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370041】 圖2323 (1)AEAB與AFAC有何關(guān)系？請(qǐng)給予證明； (2)在圖中，如果把直線BC向上或向下平移，得到圖2324(1)或圖(2)，在此條件下，(1)題的結(jié)論是否仍成立？為什么？ 圖2324 【解】　(1)AEAB＝AFAC. 證明：連接DE. ∵AD為⊙O的直徑，∴∠DEA＝90. 又∵BC與⊙O相切于點(diǎn)D， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90，∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴＝，即AD2＝ABAE. 同理AD2＝AFAC，∴AEAB＝AFAC. (2)(1)中的結(jié)論仍成立． 因?yàn)锽C在平移時(shí)始終與AD垂直，設(shè)垂足為D′， 則∠AD′B＝90. ∵AD為圓的直徑， ∴∠AED＝∠AD′B＝90. 又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE， ∴＝，∴ABAE＝ADAD′. 同理AFAC＝ADAD′，故AEAB＝AFAC.