高中數學 第一章 坐標系 學業(yè)分層測評2 極坐標系 新人教A版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第一章 坐標系 學業(yè)分層測評2 極坐標系 新人教A版選修4-4 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．下列各點中與不表示極坐標系中同一個點的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與極坐標相同的點可以表示為(k∈Z)，只有不適合． 【答案】　C 2．將點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(　　) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(π，0)． 【答案】　A 3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關系是(　　) A．關于極軸所在直線對稱 B．關于極點對稱 C．關于過極點垂直于極軸的直線對稱 D．兩點重合 【解析】　因為點(ρ，θ)關于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關于極軸所在直線對稱． 【答案】　A 4．在極坐標系中，已知點P1、P2，則|P1P2|等于(　　) A．9　　　B．10 C．14　　　D．2 【解析】　∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2為直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10. 【答案】　B 5．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是 (　　) 【導學號：91060005】 A. B. C. D. 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足tan θ＝＝－， ∵點(1，－)在第四象限，∴θ＝－. 【答案】　A 二、填空題 6．平面直角坐標系中，若點P經過伸縮變換后的點為Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點P經過伸縮變換后的點為Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于6＝3. 【答案】　3 7．已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標為________． 【解析】　∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2， ∴x＝－2，且y＝－2， ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝. 因此點P的極坐標為. 【答案】　 8．極坐標系中，點A的極坐標是，則 (1)點A關于極軸的對稱點的極坐標是________； (2)點A關于極點的對稱點的極坐標是________； (3)點A關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點A關于極軸的對稱點的極坐標為；點A關于極點的對稱點的極坐標為；點A關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標為. 【答案】　(1)　(2)　(3) 三、解答題 9．(1)已知點的極坐標分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標． (2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B，C(－2，－2)，求它們的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得A， B(－1，)，C， D(0，－4)． (2)根據ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C. 10．在極坐標系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A，B(2，π)，C. (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積． 【解】　(1)如圖所示，由A，B(2，π)，C， 得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝22＝2. ∴S△ABC＝(2)2＝3. [能力提升] 1．已知極坐標平面內的點P，則P關于極點的對稱點的極坐標與直角坐標分別為 (　　) A.，(1，) B.，(1，－) C.，(－1，) D.，(－1，－) 【解析】　點P關于極點的對稱點為 ， 即，且x＝2cos＝－2cos ＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－. 【答案】　D 2．已知極坐標系中，極點為O,0≤θ＜2π，M，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標為________． 【解析】　如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直線OM上取點P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4. 【答案】　或 3．直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于________． 【解析】　如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據點A，B的位置分析夾角大小． 因為|AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 【答案】　 4．某大學校園的部分平面示意圖如圖123：用點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當的極坐標系，寫出除點B外各點的極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點為(0,0))． 圖123 【解】　以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點的極坐標分別為O(0,0)，A(300，0)， C，D，E，F(xiàn)(300，π)，G.