高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 學(xué)業(yè)分層測評(píng)2 極坐標(biāo)系 新人教A版選修4-4

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 學(xué)業(yè)分層測評(píng)2 極坐標(biāo)系 新人教A版選修4-4 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列各點(diǎn)中與不表示極坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與極坐標(biāo)相同的點(diǎn)可以表示為(k∈Z)，只有不適合． 【答案】　C 2．將點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(　　) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點(diǎn)的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(π，0)． 【答案】　A 3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點(diǎn)M1(ρ1，θ1)與點(diǎn)M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是(　　) A．關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱 B．關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱 D．兩點(diǎn)重合 【解析】　因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(－ρ，π－θ)．由此可知點(diǎn)(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱． 【答案】　A 4．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P1、P2，則|P1P2|等于(　　) A．9　　　B．10 C．14　　　D．2 【解析】　∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2為直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10. 【答案】　B 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91060005】 A. B. C. D. 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足tan θ＝＝－， ∵點(diǎn)(1，－)在第四象限，∴θ＝－. 【答案】　A 二、填空題 6．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點(diǎn)P經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于6＝3. 【答案】　3 7．已知點(diǎn)P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當(dāng)ρ>0，θ∈[0,2π)時(shí)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為________． 【解析】　∵點(diǎn)P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2， ∴x＝－2，且y＝－2， ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝. 因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. 【答案】　 8．極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，則 (1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________； (3)點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為；點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為；點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 【答案】　(1)　(2)　(3) 三、解答題 9．(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(biāo)． (2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得A， B(－1，)，C， D(0，－4)． (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C. 10．在極坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B(2，π)，C. (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積． 【解】　(1)如圖所示，由A，B(2，π)，C， 得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝22＝2. ∴S△ABC＝(2)2＝3. [能力提升] 1．已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為 (　　) A.，(1，) B.，(1，－) C.，(－1，) D.，(－1，－) 【解析】　點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ， 即，且x＝2cos＝－2cos ＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－. 【答案】　D 2．已知極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O,0≤θ＜2π，M，在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 【解析】　如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直線OM上取點(diǎn)P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4. 【答案】　或 3．直線l過點(diǎn)A，B，則直線l與極軸夾角等于________． 【解析】　如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大?。? 因?yàn)閨AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 【答案】　 4．某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖123：用點(diǎn)O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出除點(diǎn)B外各點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點(diǎn)為(0,0))． 圖123 【解】　以點(diǎn)O為極點(diǎn)，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標(biāo)系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)， C，D，E，F(xiàn)(300，π)，G.