高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 15 數(shù)列求和學(xué)案 文

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學(xué)案15　數(shù)列求和 班級(jí)______ 姓名____________ 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題． 自主梳理 求數(shù)列前n項(xiàng)和的一般方法 (1)公式法 ①等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：倒序相加； ②等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝ 推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法． ③常見數(shù)列的前n項(xiàng)和： a．1＋2＋3＋…＋n＝__________； b．12＋22＋32＋…＋n2＝______________； e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________. (2)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列． (3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和． 常見的裂項(xiàng)公式有：①＝－； ②＝； ③＝－. (4)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和． (5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)． 探究點(diǎn)一　分組求和 例1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n+3n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。 【變式1】（1）數(shù)列1,4，7，10，…前10項(xiàng)的和為________. （2）求數(shù)列 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，前n項(xiàng)和。 探究點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法求和 例2　求數(shù)列1，，，…，，…的前n項(xiàng)和． 【變式2】　已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 探究點(diǎn)三　錯(cuò)位相減法求和 例3　求和 【變式3】（2014安徽文）數(shù)列滿足 （1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【課后練習(xí)與提高】 1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于 (　　) A．1 B. C. D. 2．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且＝ (n≥2)，則此數(shù)列的第10項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 3．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和Sn>1 020，那么n的最小值是 (　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則log4S10＝__________. 5．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________. 6．（2014全國(guó)）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根. （I）求的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 7.（2011全國(guó)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且. （I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 8．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6. (1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明＋＋…＋<. 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1) (n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；(3)若cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.