高中數(shù)學(xué) 章末整合提升1 新人教A版必修5

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2017春高中數(shù)學(xué) 章末整合提升1 新人教A版必修5 基 礎(chǔ) 鞏 固 一、選擇題 1．(2016北京豐臺(tái)區(qū)二模)已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，b＝，c＝，B＝，那么a等于(　C　) A．1 B．2 C．4 D．1或4 [解析]　在△ABC中，b＝，c＝，cosB＝，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即7＝a2＋3－3a， 解得a＝4或a＝－1(舍去)． 故a的值為4. 2．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝(　A　) A．30 B．60 C．120 D．150 [解析]　由余弦定理得：cosA＝，由題知b2－a2＝－bc，c2＝2bc，則cosA＝， 又A∈(0，180)，∴A＝30，故選A． 3．三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為，面積為14，那么這個(gè)三角形的此兩邊長(zhǎng)分別是(　D　) A．3和5 B．4和6 C．6和8 D．5和7 [解析]　設(shè)夾角為A，∵cosA＝，∴sinA＝， S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，又b－c＝2，∴b＝7，c＝5. 4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　B　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 [解析]　由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形． 5．如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為(　A　) A．50m B．50m C．25m D．m [解析]　由題意知∠ABC＝30， 由正弦定理得，＝， ∴AB＝＝＝50(m)． 6．(2015合肥市質(zhì)檢)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為(　B　) A．(1，＋∞) B．(0,2) C．(1,3) D．(0,3) [解析]　依題意得c0)． 則a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC． 代入＋＝中，有＋＝，變形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)． 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC． (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cosA＝＝.所以sinA＝＝. 由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， 所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4. 能 力 提 升 一、選擇題 11．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于(　B　) A． B． C． D． [解析]　設(shè)AB＝c，BC邊上的高為h. 由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BCccos60，即7＝c2＋4－2c，即 c2－2c－3＝0，∴c＝3(負(fù)值舍去)． 又h＝csin60＝3＝，故選B． 12．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45，則滿足此條件的三角形個(gè)數(shù)是(　A　) A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè) [解析]　直接根據(jù)正弦定理可得＝，可得sinB＝＝＝>1，沒有意義，故滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0. 13．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40n mile的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　A　) A．10n mile B．10n mile C．20n mile D．20n mile [解析]　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20n mile，∠CAB＝30，∠ACB＝45，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(n mile)． 二、填空題 14．(2015天津十二區(qū)縣聯(lián)考)已知△ABC中，AB＝1，sinA＋sinB＝sinC，S△ABC＝sinC，則cosC＝. [解析]　設(shè)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，因?yàn)閟inA＋sinB＝sinC，則由正弦定理得a＋b＝c＝，又因?yàn)镾△ABC＝absinC＝sinC，所以ab＝，故cosC＝＝＝. 15．已知平面內(nèi)四點(diǎn)O、A、B、C滿足＋＋＝0，＝＝＝－1，則△ABC的面積為. [解析]　由＋＋＝0知O為△ABC的重心， 又由＝得 (－)＝＝0， 所以⊥，同理⊥，⊥， 所以O(shè)為△ABC的垂心．故△ABC為正三角形． 即＝||||cos120＝－1， ∴||||＝2. ∴S△AOC＝||||sin120＝，∴S△ABC＝. 三、解答題 16．(2015武漢市調(diào)研)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcos2A＝a(2－sinAsinB)，c＝，cosB＝. (1)求sinA； (2)求a，b的值． [解析]　(1)在△ABC中，由正弦定理及bcos2A＝a(2－sinAsinB)知sinBcos2A＝sinA(2－sinAsinB)， ∴sinBcos2A＋sinBsin2A＝2sinA， ∵sin2A＋cos2A＝1，∴sinB＝2sinA， 又∵cosB＝，∴sinB＝＝. ∴sinA＝sinB＝. (2)由(1)可知b＝2a， ∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及b＝2a，c＝得(2a)2＝a2＋7－2acosB． 而cosB＝，∴3a2＋4a－7＝0， 即(3a＋7)(a－1)＝0，∴a＝1，b＝2. 17．如右圖所示，甲船以每小時(shí)30n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20n mile.當(dāng)甲船航行20min到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10n mile，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少n mile？ [解析]　解法一：如圖，連結(jié)A1B2， 由題意知A2B2＝10n mile，A1A2＝30＝10n mile. 所以A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180－120＝60， 所以△A1A2B2是等邊三角形． 所以A1B2＝A1A2＝10n mile. 由題意知，A1B1＝20n mile，∠B1A1B2＝105－60＝45， 在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos45＝202＋(10)2－22010＝200. 所以B1B2＝10n mile. 因此，乙船速度的大小為60＝30(n mile/h)． 答：乙船每小時(shí)航行30n mile. 解法二：如下圖所示，連結(jié)A2B1， 由題意知A1B1＝20n mile，A1A2＝30 ＝10n mile，∠B1A1A2＝105， 又cos105＝cos(45＋60) ＝cos45cos60－sin45sin60＝， sin105＝sin(45＋60)＝sin45cos60＋cos45sin60 ＝， 在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1A1A2cos105＝202＋(10)2－22010＝100(4＋2)， 所以A2B1＝10(1＋)n mile 由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝sin∠B1A1A2＝＝， 所以∠A1A2B1＝45，即∠B1A2B2＝60－45＝15，cos15＝sin105＝. 在△B1A2B2中，由題知A2B2＝10n mile， 由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1A2B2cos15＝102(1＋)2＋(10)2－210(1＋)10＝200， 所以B1B2＝10n mile，故乙船速度的大小為60＝30(n mile/h)． 答：乙船每小時(shí)航行30n mile.