高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題4_1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)試題 理（含解析）

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專題4.1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù) 為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為( ) （A）11（B）9（C）7（D）5 【答案】B 2．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得，則平移后函數(shù)的對(duì)稱軸為，即，故選B. 3．【2016年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（） 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（ ） A.，的最小值為 B. ，的最小值為 C.，的最小值為 D.，的最小值為 【答案】A 4．【2016高考江蘇卷】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 . 【答案】7 【解析】由，因?yàn)?，所以?個(gè) 5．【2016高考天津理數(shù)】已知函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()-. (Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期； （Ⅱ）討論f(x)在區(qū)間[]上的單調(diào)性. 【解析】 解：的定義域?yàn)? .所以, 的最小正周期 解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得 設(shè)，易知.所以, 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 6. 【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 7.【2015高考安徽，理10】已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由題意，，，所以，則，而當(dāng)時(shí)，，解得，所以，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.要比較的大小，只需判斷與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸的距離大小，距離越大，值越小，易知與比較近，與比較近，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，故選A. 8.【2015高考湖南，理9】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，，有，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 9.【2015高考福建，理19】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程； (Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解． （1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2)證明： 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見解析． 【解析】解法一：(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為 (2)1) （其中），依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是. 2)因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 所以 10. 【2014高考湖南卷第9題】已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是( ) A. B. C. D. 【答案】A 11．【2014全國(guó)1高考理第6題】如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（ ） A B C D 【答案】C 【解析】如圖所示，當(dāng)時(shí)，在中，．在中， ；當(dāng)時(shí)，在中，，在中，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象大致為C． 12.【2014高考天津第15題】已知函數(shù)，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，三角函數(shù)圖像變換等是高考的熱點(diǎn)，每年文理均涉及到一道三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的題目，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度屬于中、低檔；常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，因此三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn). 從高考試題來(lái)看，三角函數(shù)的周期性,單調(diào)性,對(duì)稱性,最值,圖像變換等是高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)，又考查三角恒等變換的方法與技巧，注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．其特點(diǎn)如下：(1)考小題，重基礎(chǔ)：小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)．(2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過(guò)公式變形轉(zhuǎn)換來(lái)考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加．在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法. 從2016年高考試題來(lái)看，特別是新課標(biāo)1卷第17題考察了解三角形，故預(yù)測(cè)2017年高考可能以三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性為主要考點(diǎn)，可能出一個(gè)大題．也有可能仍將以三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性中選一個(gè)出一道選擇題或填空題，難度不大. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點(diǎn)就是利用三角函數(shù)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、有界性及“五點(diǎn)作圖法”等，求解三角函數(shù)的值、求參數(shù)、求最值、求值域、求單調(diào)區(qū)間等問題，三角函數(shù)的圖象主要考查其變換，題型既有選擇題也有填空題，也有解答題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢(shì). 【考點(diǎn)1】三角函數(shù)的圖象與簡(jiǎn)單性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1.三角函數(shù)線 三角函數(shù)線是通過(guò)有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法.利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米）.當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；. O x y a角的終邊 P T M A 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有： 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)， 規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo). 這樣,無(wú)論那種情況都有.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段. 如上圖,過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有： 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 性質(zhì) 圖象 定義域 值域 最值 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 既無(wú)最大值，也無(wú)最小值 周期性 奇偶性 ,奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)． 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱中心 對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形. 對(duì)稱中心 無(wú)對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形. 2.正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3.（五點(diǎn)法），先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè)的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來(lái)，即得到在一個(gè)周期的圖像，最后把這個(gè)周期的圖像以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖像. 【規(guī)律方法技巧】 用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【河北省衡水中學(xué)2016屆高三四調(diào)】函數(shù)（）的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于當(dāng)時(shí)，，， 故選C． 2.函數(shù)是（ ）. A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù) C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) 【答案】C 【考點(diǎn)2】三角函數(shù)圖象的變換 【備考知識(shí)梳理】 1.函數(shù)圖像的變換（平移變換和上下變換） 平移變換：左加右減，上加下減 把函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像. 伸縮變換: 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像. 2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少. 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，再沿軸向左()或向右()平移個(gè)單位，便得的圖象. 注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)時(shí))或向右(當(dāng)時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到. 【規(guī)律方法技巧】 1. 在解決函數(shù)圖像的變換問題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò)． 2. 圖像變換法．若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖像變換作出，但要注意變換順序．對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響． 3.解決圖象變換問題時(shí)，要分清變換的對(duì)象及平移(伸縮)的大小，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤． 4.特別提醒：進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí)，要注意無(wú)論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年江西師大附中高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)向右平移個(gè)單位后 所得的圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【2016年江西師大附中高三二?！恳阎瘮?shù)向右平移個(gè)單位后，所得的圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原函數(shù)向右平移個(gè)單位后所得函數(shù)為其與原函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，則必有，由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知的最小正值為，故本題的正確選項(xiàng)為D. 【考點(diǎn)3】求三角函數(shù)解析式 【備考知識(shí)梳理】 1. 由的圖象求其函數(shù)式： 已知函數(shù)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置． 2.利用圖象變換求解析式： 由的圖象向左或向右平移個(gè)單位，，得到函數(shù)，將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍()，便得. 【規(guī)律方法技巧】 1.根據(jù)的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮： (1)A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A＝； (2)k的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即k＝； (3) 的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)來(lái)確定ω； (4)φ的確定：由函數(shù)最開始與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (即令，)確定.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn).“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為，其他依次類推即可. 2.在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆邯鄲市第一中學(xué)高三十研】已知的部分圖像如圖所示，則的表達(dá)式為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【2016屆山東省東營(yíng)市勝利一中高三最后一卷】定義矩陣．若，則的圖象向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考點(diǎn)4】三角函數(shù)的單調(diào)性 【備考知識(shí)梳理】 1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來(lái)確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，如下表 增 增 增 增 減 減 減 增 減 減 減 增 【規(guī)律方法技巧】 1. 求形如或 (其中A≠0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ ()”視為一個(gè)“整體”；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與 ()， ()的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)． 2. 如何確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，若為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來(lái)，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求函數(shù) (或，或)的單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)將化為正． (2)將看成一個(gè)整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解． 5．特別提醒：解答三角函數(shù)的問題時(shí)，不要漏了“”. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年安慶市高三二?！恳阎瘮?shù)（,,）的部分圖象如圖所示,則的遞增區(qū)間為（ ） A．, B．, C．, D．, 【答案】B 【解析】由圖象可知,,所以,故.由,得（）. ∵ ∴,所以. 由（）,得（）.或：,所以,, ,所以的單增區(qū)間是,.故選B. 2. 【2016年河南八市高三聯(lián)考】已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點(diǎn)5】三角函數(shù)的奇偶性 【備考知識(shí)梳理】 1．函數(shù)的奇偶性的定義； 對(duì)定義域內(nèi)任意，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù) 2．奇偶函數(shù)的性質(zhì)： （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 3．為偶函數(shù)． 4．若奇函數(shù)的定義域包含，則． 5. 為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù). 【規(guī)律方法技巧】 1. 一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù). 2. 如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下： (1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (3)若為奇函數(shù)則有. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三考前最后一卷】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【2016年淮南高三二?！恳阎瘮?shù)滿足對(duì)恒成立，則函數(shù)（ ） A．一定為奇函數(shù) B．一定為偶函數(shù) C． 一定為奇函數(shù) D．一定為偶函數(shù) 【答案】D 【解析】由題意得，時(shí)，則，，所以，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，故選D． 【考點(diǎn)6】三角函數(shù)的周期性 【備考知識(shí)梳理】 1. 周期函數(shù)的定義 一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有 ，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個(gè)函數(shù)的周期． 2.最小正周期 對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù) ，那么這個(gè)最小的正數(shù) 就叫做的最小正周期． 2. ,周期為,周期為. 【規(guī)律方法技巧】 1.求三角函數(shù)的周期的方法 （1）定義法：使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題； （2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混； (3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)； (4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變. 2.使用周期公式，必須先將解析式化為或的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是，正切函數(shù)的最小正周期公式是；注意一定要注意加絕對(duì)值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆遼寧大連八中、二十四中高三模擬】函數(shù)的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，所以最小正周期為，故選B. 2. 【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2016屆高三月考（三）】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中為常數(shù)，且． （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若存在，使，求的取值范圍． 【考點(diǎn)7】三角函數(shù)的最值 【備考知識(shí) ,的值域?yàn)?的值域?yàn)? 【規(guī)律方法技巧】 掌握三種類型，順利求解三角最值:三角函數(shù)的最值既是高考中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，其類型豐富，解決的方法比較多.但是歸納起來(lái)常見的有下面三種類型： （1）可化為型函數(shù)值域： 利用三角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，最終得到的形式，然后借助題目中給定的的范圍，確定的范圍，最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如： ①，設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之； ②，引入輔助角，化為求解方法同類型①； (2)可化為型求函數(shù)的值域： 首先借助三角公式，把函數(shù)化成型，然后采用換元法，即令，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu)，采取相應(yīng)的方法求解.如：,化為二次函數(shù)在上的最值求之；,設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之；，可轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域： 此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu)，有時(shí)也可以把函數(shù)圖象畫出來(lái)，直接觀察確定函數(shù)的值域.如，設(shè)化為用法求值；當(dāng)時(shí)，還可用平均值定理求最值；根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可分析法求最值，還可“不等式”法或“數(shù)形結(jié)合”，轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解. [易錯(cuò)提示]　(1)在求三角函數(shù)的最值時(shí)，要注意自變量x的范圍對(duì)最值的影響，往往結(jié)合圖象求解．(2)求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才可整體代入并求其解，當(dāng)ω＜0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆浙江省杭州市高三第二次質(zhì)檢】函數(shù)（）的最大值等于（ ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 ，，.故選B. 2. 【河北省衡水中學(xué)2016屆高三七調(diào)】已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋? ） A． B． C． D． 【答案】A 【考點(diǎn)8】求函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸和對(duì)稱中心） 【備考知識(shí)梳理】 1.對(duì)稱軸與對(duì)稱中心： 的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為； 的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為； 對(duì)稱中心為. 2.對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系. 的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱軸，可由方程解出；它還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對(duì)稱中心為． 3.相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為,函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)． 【規(guī)律方法技巧】 先化成的形式再求解．其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心, 關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【湖北省八校2016高三第二次聯(lián)考】若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)取最小值時(shí)，，使得，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016年江西高三三校聯(lián)考】函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，令，所以函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為,選C. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．如何判斷函數(shù)的奇偶性 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下： (1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有； (3)若為奇函數(shù)則有. 2.如何確定函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，若為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來(lái)，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求三角函數(shù)的周期的方法 （1）定義法：使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題； （2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混； (3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)； (4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變. 4.掌握三種類型，順利求解三角最值 三角函數(shù)的最值既是高考中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，其類型豐富，解決的方法比較多.但是歸納起來(lái)常見的有下面三種類型： （1）可化為型函數(shù)值域： 利用三角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理，最終得到的形式，然后借助題目中給定的的范圍，確定的范圍，最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如：、 等. (2)可化為型求函數(shù)的值域： 首先借助三角公式，把函數(shù)化成型，然后采用換元法，即令，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu)，采取相應(yīng)的方法求解.如：、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；，可轉(zhuǎn)化為對(duì)號(hào)函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域： 此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu)，有時(shí)也可以把函數(shù)圖象畫出來(lái)，直接觀察確定函數(shù)的值域.如，常轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解. 二年模擬 1. 【河南省商丘市2016年高三第三次模擬】 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可以為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圖可知周期,故;由于,即,故選D. 2. 【2016屆云南省昆明一中高三第七次高考仿真模擬】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的解析式為，則的值分別為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3. 【2016屆湖北省級(jí)示范高中聯(lián)盟高三模擬】已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因,故,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減,且,故當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),應(yīng)選B. 4. 【2016屆福建省泉州市高三5月質(zhì)檢】已知函數(shù),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5. 【2016屆安徽省江南十校高三二?！咳绻瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)闀r(shí)，在上單調(diào)遞增，所以可以排除C、D；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此可排除選項(xiàng)A，故選B. 6. 【2016屆陜西師大附中高三第十次模擬】函數(shù)，給出下列四個(gè)命題： ①在區(qū)間上是減函數(shù)；②直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到；④若，則的值域是. 其中，正確的命題的序號(hào)是( ) A．①② B. ②③ C．①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，即①正確，因?yàn)椋灾本€是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，即②正確，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，即③錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)，即④錯(cuò)誤；故選A． 7. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三四模】已知函數(shù)的最小正周期為，且對(duì)，有成立，則的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8. 【2016年山西臨汾一中高三測(cè)試】已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)?，由題意知，所以，所以，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得，因?yàn)?，所以，即，解得，所以事件“”發(fā)生的概率為，故選C. 9．【2016屆福建廈門雙十中學(xué)高三下熱身考】已知直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則直線的傾斜角為 ． 【答案】 【解析】由條件，故傾斜角為. 10. 【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2016屆高三上學(xué)期月考（三）文科數(shù)學(xué)試題】（本小題10分）已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）將函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求使成立的的取值集合． 11.【2015屆新高考單科綜合調(diào)研卷（浙江卷）（二）】已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】結(jié)合特殊值，求解三角函數(shù)的遞減區(qū)間，并驗(yàn)證結(jié)果．取，，其減區(qū)間為，顯然，排除；取，，其減區(qū)間為，顯然，排除．選. 12.【2015屆新高考單科綜合調(diào)研卷（浙江卷）（一）】已知函數(shù)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值可能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A. 13.【朝陽(yáng)區(qū)2014-2015學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期中】如圖，某地一天中6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（其中 ，）， 第7題圖 則估計(jì)中午12時(shí)的溫度近似為（ ） 30 20 10 O t/h T/℃ 6 8 10 12 14 A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃ 【答案】B 【解析】由圖象可得，又周期，可得，可得，在將點(diǎn)（6，10）代入，可得，即，又，求得，∴．令x=12，可得，故選：B． 14.【惠安一中、養(yǎng)正中學(xué)、安溪一中2015屆高三聯(lián)合考試】對(duì)于函數(shù)，有下列4個(gè)命題：①任取，，都有恒成立；②，對(duì)于一切恒成立；③對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．④函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；則其中所有真命題的序號(hào)是 ． 【答案】①④. 15.【河南省信陽(yáng)市2015屆高中畢業(yè)班第二次調(diào)研】已知向量，記函數(shù).求： （Ⅰ）函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的集合； （Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 拓展試題以及解析 1. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【入選理由】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運(yùn)算能力, 本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象及其平移變換理論，突出了對(duì)函數(shù)圖象變換思想的理解，難度適中，故押此題． 2．已知,，點(diǎn)在直線上，則函數(shù)的最小正周期為_________. 【答案】. 【解析】，，依題意，則，所以，則函數(shù)的周期為. 【入選理由】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力, 三角函數(shù)的性質(zhì)與向量巧妙結(jié)合, 立意比較新，難度適中，故押此題． 3. 已知函數(shù)=的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)增區(qū)間為 ( ) A.， B.， C. ， D.， 【答案】A 【解析】由五點(diǎn)作圖法知，，解得，，，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，，故選A. 【入選理由】本題主要考查由三角函數(shù)的圖象求解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，意在考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運(yùn)算能力, 本題是一個(gè)常規(guī)題型，但出題方式有新意，難度適中，故押此題． 4.已知函數(shù) ，滿足其最小正周期為，，，則 函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【入選理由】本題主要考查求三角函數(shù)解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運(yùn)算能力, 本題綜合性強(qiáng)，但出題方式有創(chuàng)意，難度適中，故押此題． 5. 已知是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?，所以即?dāng)時(shí)，為偶函數(shù). 【入選理由】本題考查三角函數(shù)的奇偶性，特殊角三角函數(shù)值等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題能力及基本運(yùn)算能力，本題這種出法有創(chuàng)意，難度適中，故押此題． 6. 已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為，則函數(shù)的最大值為___________． 【答案】1 【入選理由】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、倍角公式、和角公式、三角恒等變換以及三角函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法等.本題考查內(nèi)容重點(diǎn)突出，綜合性較強(qiáng),難度不大，故選此題. 7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到 D. 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】B 【解析】由題知，函數(shù)，所以的最小正周期為，選項(xiàng)A正確；將代入的解析式得，而不是函數(shù)的最值，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋运捎傻膱D象向右平移個(gè)單位得到，選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，此范圍內(nèi)當(dāng)?shù)闹翟黾訒r(shí)，的值增加，的值也增加，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),選項(xiàng)D正確. 【入選理由】本題綜合考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)圖像變換等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題能力及解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，難度適中，故押此題． 8.已知中，邊的對(duì)角分別為，且，，. （Ⅰ）求及的面積； （Ⅱ）已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得函數(shù) 的圖象，求函數(shù)（）上的單調(diào)遞增區(qū)間. 【入選理由】本題主要考查正弦定理解三角形、三角函數(shù)的恒等變換、三角函數(shù)的平移變換以及三角函數(shù)的單調(diào)性等，考查基本的運(yùn)算能力以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，綜合分析問題解決問題的能力．本題綜合性較強(qiáng),難度不大，故選此題.