九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版11 (3)

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2016-2017學(xué)年福建省福州市永泰縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：選一個正確答案的序號填入括號內(nèi)，每小題3分，共30分1下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）ABCD2在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，1）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3下列方程中有兩個相等實數(shù)根的是（）Ax21=0B（x+2）2=0Cx2+3=0D（x3）（x+5）=04將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（）Ay=（x2）23By=（x+2）23Cy=（x2）2+3Dy=（x+2）2+35關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）Ak1Bk1Ck0Dk1且k06設(shè)二次函數(shù)y=2（x3）24圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標(biāo)可能是（）A（1，0）B（3，0）C（0，4）D（3，0）7某種藥品原價為40元/盒，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為28元/盒，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A40（1x）2=4028B40（12x）=28C40（1x）2=28D40（1x2）=288已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，若ab+c=0，則該方程一定有一個根是（）A1B0C1D29已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當(dāng)x取任意實數(shù)時，都有y0，則m的取值范圍是（）AmBmCmDm10如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在的平面內(nèi)可作旋轉(zhuǎn)中心的點共有（）A1個B2個C3個D4個二、填空題：每小題4分，共24分11方程2x2=x的根是12若關(guān)于x的一元二次方程x2（k+1）x2k=0一個根是1，則另一個根是13如圖所示，在ABC中，B=40，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處，則旋轉(zhuǎn)角BAD=度14如圖，在ABC中，BC=2，ABC=90，BAC=30，將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ADE，其中點B與點D是對應(yīng)點，點C與點E是對應(yīng)點，連接BD，則BD的長為15請寫出一個二次函數(shù)，使其滿足以下條件：圖象開口向下；圖象的對稱軸為直線x=2；它的解析式可以是16如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（1，0），對稱軸為直線x=1，給出以下結(jié)論：abc0；b24ac0；9a+3b+c0；若B（，y1）、C（2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，則y1y2，其中正確的結(jié)論是（填寫代表正確結(jié)論的序號）三、解答題：共96分17解方程：（1）3x（x+1）=2（x+1）；（2）x26x+2=018二次函數(shù)中y=ax2+bx+1的x、y的部分對應(yīng)值如下表：x10123ym1111求該二次函數(shù)的解析式及m的值19平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0，3），點B在x軸上，將AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ACD，點O、B對應(yīng)點分別是C、D（1）若點B的坐標(biāo)是（4，0），請在圖中畫出ACD，并寫出點C、D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點D落在第一象限時，試寫出一個符合條件的點B的坐標(biāo)20已知二次函數(shù)y=x2+x（1）用配方法將y=x2+x化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象填空：當(dāng)x時，y隨x的增大而增大；當(dāng)2x2時，則y的取值范圍是；關(guān)于x的方程x2+x=m沒有實數(shù)解，則m的取值范圍是21回答下面的例題：解方程：x2|x|2=0解：（1）當(dāng)x0時，原方程化為x2x2=0，解得x1=2，x2=1（不合題意，舍去） （2）當(dāng)x0時，原方程化為x2+x2=0，解得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）原方程的根是x1=2，x2=2請參照例題解方程x2+|x4|8=022已知關(guān)于x的方程x2（m+1）x+2（m1）=0（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）若等腰ABC的一邊長a=6，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長23某賓館有50個房間供游客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用（1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？（2）若賓館某一天獲利10640元，則房價定為多少元？（3）房價定為多少時，賓館的利潤最大？24如圖1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，點M是BC的中點，作正方形MNPQ，使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ（1）直接寫出線段AN和BQ的數(shù)量關(guān)系是（2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)（0360）判斷（1）的結(jié)論是否成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；若BC=MN=6，當(dāng)（0360）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出AQ的值25如圖，已知拋物線y=x2+mx+m4經(jīng)過點A（5，5），若拋物線頂點為P（1）求點P的坐標(biāo)；（2）在直線OA上方的拋物線上任取一點M，連接MO、MA，求MOA的面積取得最大時的點M坐標(biāo)；（3）如圖1，將原拋物線沿射線OP方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OP交于C、D兩點試問線段CD的長度是否為定值，若是請求出這個定值；若不是請說明理由（提示：若點C（x1，y1），D（x2，y2），則CD的長度d=）2016-2017學(xué)年福建省福州市永泰縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：選一個正確答案的序號填入括號內(nèi)，每小題3分，共30分1下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）ABCD【考點】中心對稱圖形【分析】結(jié)合中心對稱圖形的概念求解即可【解答】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；B、是中心對稱圖形，本選項正確；C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤故選B【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合2在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，1）與點B關(guān)于原點對稱，則點B的坐標(biāo)為（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)【分析】關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標(biāo)都變成原來相反數(shù)，據(jù)此求出點B的坐標(biāo)【解答】解：點A坐標(biāo)為（2，1），點B的坐標(biāo)為（2，1）故選B【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P（x，y）3下列方程中有兩個相等實數(shù)根的是（）Ax21=0B（x+2）2=0Cx2+3=0D（x3）（x+5）=0【考點】根的判別式【分析】分別求出每個方程的根即可判斷【解答】解：A、x21=0中x=1或x=1，錯誤；B、（x+2）2=0中x=2，正確；C、方程x2+3=0無實數(shù)根，錯誤；D、（x3）（x+5）=0中x=3或x=5，錯誤；故選：B【點評】本題主要考查解方程的能力，根據(jù)方程的特點靈活選擇解方程的方法是解題的關(guān)鍵4將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（）Ay=（x2）23By=（x+2）23Cy=（x2）2+3Dy=（x+2）2+3【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進行解答即可【解答】解：根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則可知，將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=（x2）23故選A【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵5關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）Ak1Bk1Ck0Dk1且k0【考點】根的判別式【分析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，則0，由此建立關(guān)于k的不等式，然后可以求出k的取值范圍【解答】解：由題意知k0，=4+4k0解得k1且k0故選D【點評】總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根2、一元二次方程的二次項系數(shù)不為06設(shè)二次函數(shù)y=2（x3）24圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標(biāo)可能是（）A（1，0）B（3，0）C（0，4）D（3，0）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由二次函數(shù)解析式可求得拋物線的對稱軸，則可求得答案【解答】解：y=2（x3）24，對稱軸為x=3，點M在直線l上，M點的橫坐標(biāo)為3，故選B【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（xh）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標(biāo)為（h，k）7某種藥品原價為40元/盒，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為28元/盒，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A40（1x）2=4028B40（12x）=28C40（1x）2=28D40（1x2）=28【考點】由實際問題抽象出一元二次方程【分析】可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格（1降低的百分率）=28，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，則第一次降價后的價格為40（1x）元，兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格的基礎(chǔ)上降低x，為40（1x）（1x）元，則列出的方程是40（1x）2=28，故選C【點評】此題考查求平均變化率的方法若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1x）2=b8已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，若ab+c=0，則該方程一定有一個根是（）A1B0C1D2【考點】一元二次方程的解【分析】根據(jù)x=1時方程ax2+bx+c=0中ab+c=0可得答案【解答】解：方程ax2+bx+c=0中ab+c=0，x=1，故選：A【點評】本題主要考查方程的解，熟練掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵9已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當(dāng)x取任意實數(shù)時，都有y0，則m的取值范圍是（）AmBmCmDm【考點】拋物線與x軸的交點【分析】二次函數(shù)開口向上，當(dāng)x取任意實數(shù)時，都有y0，則b24ac0，據(jù)此即可列不等式求解【解答】解：b24ac=14m0，解得：m故選D【點評】本題考查了拋物線與x軸交點個數(shù)，個數(shù)由b24ac的符號確定，當(dāng)=b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點；=b24ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；=b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點10如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在的平面內(nèi)可作旋轉(zhuǎn)中心的點共有（）A1個B2個C3個D4個【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論確定旋轉(zhuǎn)中心【解答】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點D；把正方形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點C；把正方形ABCD繞CD的中點旋轉(zhuǎn)180能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為CD的中點故選C【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等也考查了正方形的性質(zhì)二、填空題：每小題4分，共24分11方程2x2=x的根是x1=0，x2=【考點】解一元二次方程-因式分解法【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：2x2=x，2x2x=0，x（2x1）=0，x=0，2x1=0，x1=0，x2=，故答案為：x1=0，x2=【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中12若關(guān)于x的一元二次方程x2（k+1）x2k=0一個根是1，則另一個根是4【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解【分析】將x=1代入原方程求出k值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合方程的一根為1即可得出結(jié)論【解答】解：將x=1代入原方程得：1+（k+1）2k=0，解得：k=2，=2k=4，方程的一個根是1，方程的另一個根是4故答案為：4【點評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，將x=1代入原方程求出k值是解題的關(guān)鍵13如圖所示，在ABC中，B=40，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處，則旋轉(zhuǎn)角BAD=100度【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】計算題【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AD，BAD等于旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得B=ADB=40，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算BAD的度數(shù)【解答】解：ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處，AB=AD，BAD等于旋轉(zhuǎn)角，B=ADB=40，BAD=180BADB=100故答案為100【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等14如圖，在ABC中，BC=2，ABC=90，BAC=30，將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ADE，其中點B與點D是對應(yīng)點，點C與點E是對應(yīng)點，連接BD，則BD的長為2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB的長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AD，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論【解答】解：在ABC中，BC=2，ABC=90，BAC=30，AB=3將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ADE，BAD=90，AB=AD=2，BD=2故答案為：2【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵15請寫出一個二次函數(shù)，使其滿足以下條件：圖象開口向下；圖象的對稱軸為直線x=2；它的解析式可以是y=x2+4x【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】由拋物線開口方向可確定二次項系數(shù)，結(jié)合對稱軸可確定一次項系數(shù)，則可求得答案【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，拋物線開口向下，可取a=1，對稱軸為x=2，=2，解得b=4，可取c=0，滿足條件的函數(shù)解析式可以是y=x2+4x，故答案為：y=x2+4x【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與a的符號與關(guān)、對稱軸公式為x=是解題的關(guān)鍵16如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（1，0），對稱軸為直線x=1，給出以下結(jié)論：abc0；b24ac0；9a+3b+c0；若B（，y1）、C（2，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，則y1y2，其中正確的結(jié)論是（填寫代表正確結(jié)論的序號）【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出拋物線開口向下得到a小于0，且拋物線與y軸正半軸相交，得c大于0，對稱軸在y軸右側(cè)，a，b異號即選項正確；拋物線與x軸交于兩個點，得出根的判別式大于0，即選項正確；由圖象得出x=3時對應(yīng)的函數(shù)值等于0，故選項錯誤；拋物線與x軸的另一個交點為A（3，0），根據(jù)對稱軸為x=1，利用對稱性得出x=時的y值大于x=2時的y值，即選項正確，即可得出正確的選項序號【解答】解：拋物線開口向下，a0，拋物線與y軸正半軸相交，c0，對稱軸在y軸右側(cè)，a，b異號，b0，故正確；拋物線與x軸交于兩個點，0，故正確；x=3時，y=9a+3b+c=0，故錯誤；對稱軸為x=1，y1y2，故正確，故答案為【點評】本題考查了拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系，其中a由拋物線的開口方向決定，a與b同號對稱軸在y軸左邊；a與b異號對稱軸在y軸右邊，c的符合由拋物線與y軸的交點在正半軸或負半軸有關(guān)；拋物線與x軸的交點個數(shù)決定了根的判別式的正負，此外還要在拋物線圖象上找出特殊點對應(yīng)函數(shù)值的正負來進行判斷三、解答題：共96分17解方程：（1）3x（x+1）=2（x+1）；（2）x26x+2=0【考點】解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得【解答】解：（1）3x（x+1）2（x+1）=0，（x+1）（3x2）=0，x+1=0或3x2=0，解得：x=1或x=；（2）a=1，b=6，c=2，=36412=280，x=3，即x1=3+，x2=3【點評】本題考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法18二次函數(shù)中y=ax2+bx+1的x、y的部分對應(yīng)值如下表：x10123ym1111求該二次函數(shù)的解析式及m的值【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，然后把x=1代入函數(shù)解析式，即可求得m的值【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是y=x23x+1當(dāng)x=1是，m=1+3+1=5【點評】此題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，正確解方程組求得a和b的值是解本題的關(guān)鍵19平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0，3），點B在x軸上，將AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ACD，點O、B對應(yīng)點分別是C、D（1）若點B的坐標(biāo)是（4，0），請在圖中畫出ACD，并寫出點C、D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點D落在第一象限時，試寫出一個符合條件的點B的坐標(biāo)【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換【專題】作圖題【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點C、D的位置，然后與點A順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點C、D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可知ACCD，然后根據(jù)點D在x軸上方部分時的CD的長度，再寫出點B的坐標(biāo)即可【解答】解：（1）ACD如圖所示，C（3，3），D（3，1）；（2）若點D落在第一象限，則CD可以等于2，此時OB=2，點B的坐標(biāo)可為（2，0）（答案不唯一）【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵20已知二次函數(shù)y=x2+x（1）用配方法將y=x2+x化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象填空：當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)2x2時，則y的取值范圍是2y；關(guān)于x的方程x2+x=m沒有實數(shù)解，則m的取值范圍是m2【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的三種形式【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟即可解決（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可（3）根據(jù)圖象即可判斷利用圖象法解決即可利用圖象法即可解決【解答】解：（1）y=x2+x化成y=（x2+2x+11）=（x+1）22（2）函數(shù)圖象如圖所示，（3）由圖象可知當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大故答案為x1x=2時，y=，x=2時，y=，x=1時，y=2，當(dāng)2x2時，則y的取值范圍是2y故答案為2y由圖象可知m2時，方程x2+x=m沒有實數(shù)解故答案為m2【點評】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，函數(shù)的增減性等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會利用圖象解決問題，屬于中考常考題型21回答下面的例題：解方程：x2|x|2=0解：（1）當(dāng)x0時，原方程化為x2x2=0，解得x1=2，x2=1（不合題意，舍去） （2）當(dāng)x0時，原方程化為x2+x2=0，解得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）原方程的根是x1=2，x2=2請參照例題解方程x2+|x4|8=0【考點】解一元二次方程-因式分解法【分析】分類討論：當(dāng)x4時，原方程式為x2+x12=0；當(dāng)x4時，原方程式為x2x4=0，然后分別利用因式分解法解方程求出滿足條件的x的值，從而得到原方程的解【解答】解：當(dāng)x4時，原方程化為x2+x12=0，解得：x1=3，x2=4（不合題意，舍去）當(dāng)x4時，原方程化為x2x4=0，解得：x1=，x2=，原方程的根是x=3或x=或x=【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）22已知關(guān)于x的方程x2（m+1）x+2（m1）=0（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）若等腰ABC的一邊長a=6，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長【考點】根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出=（m3）20，由此即可證出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知b=c或b、c中有一個為6，當(dāng)b=c時，根據(jù)根的判別式=（m3）2=0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；當(dāng)方程的一根為6時，將x=6代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長即可得出結(jié)論【解答】解：（1）證明：在方程x2（m+1）x+2（m1）=0中，=（m+1）242（m1）=m26m+9=（m3）20，無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）ABC為等腰三角形，b=c或b、c中有一個為6當(dāng)b=c時，=（m3）2=0，解得：m=3，原方程為x24x+4=0，解得：b=c=2，b+c=2+2=46，2、2、6不能構(gòu)成三角形當(dāng)方程的一根為6時，將x=6代入原方程得：366（m+1）+2（m1）=0，解得：m=7，原方程為x28x+12=0，解得：x1=2，x2=6，6+2=86，6+6=122，ABC的三邊長為：2、6、6，CABC=2+6+6=14【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分b=c或b、c中有一個為6兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵23某賓館有50個房間供游客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用（1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？（2）若賓館某一天獲利10640元，則房價定為多少元？（3）房價定為多少時，賓館的利潤最大？【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)利潤=房價的凈利潤入住的房間數(shù)可得；（2）設(shè)每個房間的定價為a元，根據(jù)以上關(guān)系式列出方程求解可得；（3）根據(jù)（1）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得最值情況【解答】解：（1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為（180+4020）（50）=9200元；（2）設(shè)每個房間的定價為a元，根據(jù)題意，得：（a20）（50）=10640，解得：a=300或a=400，答：若賓館某一天獲利10640元，則房價定為300元或400元；（3）設(shè)房價增加x元時，利潤為w，則w=（18020+x）（50）=x2+34x+8000=（x170）2+10890因而當(dāng)x=170時，即房價是350元時，利潤最大【點評】此題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系24如圖1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，點M是BC的中點，作正方形MNPQ，使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ（1）直接寫出線段AN和BQ的數(shù)量關(guān)系是BQ=AN（2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)（0360）判斷（1）的結(jié)論是否成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；若BC=MN=6，當(dāng)（0360）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出AQ的值【考點】四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】綜合題【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，得出AMNBMQ，即可得出結(jié)論；（2）如圖2，連接AM，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，可以得出AMNBMQ，即可得出結(jié)論；由可知BG=AE，當(dāng)BQ取得最大值時，AN取得最大值，由勾股定理即可得出結(jié)論【解答】解：（1）BQ=AN理由：如圖1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，點M是BC的中點，AMBC，BM=AM，AMB=AMC=90四邊形PQMN是正方形，QM=NM在QMB和NMA中，QMBNMA（SAS），BQ=AN故答案為：BQ=AN；（2）BQ=AN成立理由：如圖2，連接AM，在RtBAC中，M為斜邊BC中點，AM=BM，AMBC，AMQ+QMB=90 四邊形PQMN為正方形，MQ=NM，且QMN=90，AMQ+NMA=90，BMQ=AMN在BMQ和AMN中，BMQAMN（SAS），BQ=AN； 由得，BQ=AN，當(dāng)BQ取得最大值時，AN取得最大值如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角=270時，BQ=AN（最大），此時AMQ=90BC=MN=6，M是BC的中點，MQ=6，AM=BC=3，在RtAMQ中，由勾股定理得AQ=3【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解答時作輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形并證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵25如圖，已知拋物線y=x2+mx+m4經(jīng)過點A（5，5），若拋物線頂點為P（1）求點P的坐標(biāo)；（2）在直線OA上方的拋物線上任取一點M，連接MO、MA，求MOA的面積取得最大時的點M坐標(biāo)；（3）如圖1，將原拋物線沿射線OP方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OP交于C、D兩點試問線段CD的長度是否為定值，若是請求出這個定值；若不是請說明理由（提示：若點C（x1，y1），D（x2，y2），則CD的長度d=）【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；（2）先設(shè)出點M坐標(biāo)，得出三角形MOA面積，進而確定出點M的坐標(biāo)（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OP，可得C、D點的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案【解答】解：（1）依題意52+5m+m4=5，m=4，y=x2+4x=（x2）2+4頂點P（2，4）；（2）如圖1，A（5，5），OA的解析式為y=x，設(shè)M（m，m2+4m），（0m5）N（m，m），MN=m2+4m+m=m2+5m，SMOA=MN|xAxO|=（m2+5m）5=（m25m）=（m）2+當(dāng)m=時，MOA的面積取得最大，此時的點M坐標(biāo)（，）（3）在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是為定值，直線OP的解析式為y=2x，可設(shè)新拋物線解析式為y=（xa）2+2a聯(lián)立拋物線與OP，（xa）2a=x，x1=a，x2=a2，x1x2=2；y1=2x1=2a，y2=2x2=2（a2），y1y2=4；CD的長度=2在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是定值，定值為2【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，確定出三角形MOA的面積是解題關(guān)鍵，又利用了解方程組得出P點坐標(biāo)；利用勾股定理得出CD的