高三數(shù)學(xué)《一題多解-一題多變》試題及詳解答案

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高三《一題多解 一題多變》題目 一題多解 一題多變（一） 原題： 的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍 解：由題意在R上恒成立 且Δ，得 變1：的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍 解：由題意在R上恒成立 且Δ，得 變2：的值域?yàn)镽，求m的取值范圍 解：令，則要求t能取到所有大于0的實(shí)數(shù)， 當(dāng)時(shí)，t能取到所有大于0的實(shí)數(shù) 當(dāng)時(shí)，且Δ 變3：的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?，求m,n的值 解：由題意，令，得 時(shí)，Δ- 1和9時(shí)的兩個(gè)根 當(dāng)時(shí)， ，也符合題意 一 題 多 解- 解不等式 解法一：根據(jù)絕對(duì)值的定義，進(jìn)行分類討論求解 （1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為 （2）當(dāng)時(shí)，不等式可化為 綜上：解集為 解法二：轉(zhuǎn)化為不等式組求解 原不等式等價(jià)于 綜上：解集為 解法三：利用等價(jià)命題法 原不等式等價(jià)于 ，即 解集為 解法四：利用絕對(duì)值的集合意義 原不等式可化為 ，不等式的幾何意義時(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)的距離大于，且小于，由圖得， 解集為 一題多解 一題多變（二） 已知是等比數(shù)列的前n想項(xiàng)和，成等差數(shù)列，求證：成等差數(shù)列 法一：用公式， 因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以且則 所以 所以 成等差數(shù)列｀ 法二用公式， 則，所以 成等差數(shù)列｀ 證法三：（用公式） 解得（下略） 變題： 已知且是第二象限角，求 解：是第二象限角， 變1：，求 解：，所以是第一或第二象限角 若是第一象限角，則 若是第二象限角，則 變2：已知求 解：由條件，所以 當(dāng) 時(shí)，是第一或第二象限角 若是第一象限角時(shí) 若是第二象限角 當(dāng)時(shí)不存在 變3：已知，求 解：當(dāng)時(shí)，不存在 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)第一、第四象限角時(shí)， 當(dāng)是第二、第三象限角時(shí)， 一題多解 一題多變（三） 題目：求函數(shù)的值域 方法一：判別式法 -- 設(shè) ，則，由Δ- 當(dāng)時(shí)，-， 因此當(dāng)時(shí)， 有最小值2，即值域?yàn)? 方法二：?jiǎn)握{(diào)性法 先判斷函數(shù)的單調(diào)性 任取，則 當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上時(shí)減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù) 由在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，知 時(shí)，有最小值2，即值域?yàn)? 方法三：配方法 ，當(dāng)時(shí)，，此時(shí) 有最小值2，即值域?yàn)? 方法四：基本不等式法 有最小值2，即值域?yàn)? 變 題 原題：若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：由題意得 在R上恒成立，則要求 且Δ 變式一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：由題意得 在R上恒成立，則要求 且Δ 變式二：函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：令 能取到所有大于0的實(shí)數(shù)，則 時(shí)，能取到所有大于0的實(shí)數(shù) 時(shí)，且Δ 綜上 一題多解 一題多變（四） 題目：求函數(shù)的值域 方法一：判別式法 -- 設(shè) ，則，由Δ- 當(dāng)時(shí)，-， 因此當(dāng)時(shí)， 有最小值2，即值域?yàn)? 方法二：?jiǎn)握{(diào)性法 先判斷函數(shù)的單調(diào)性 任取，則 當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在上時(shí)減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù) 由在上時(shí)減函數(shù)，在上是增函數(shù)，知 時(shí)，有最小值2，即值域?yàn)? 方法三：配方法 ，當(dāng)時(shí)，，此時(shí) 有最小值2，即值域?yàn)? 方法四：基本不等式法 有最小值2，即值域?yàn)? 變 題 原題：若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：由題意得 在R上恒成立，則要求 且Δ 變式一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：由題意得 在R上恒成立，則要求 且Δ 變式二：函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：令 能取到所有大于0的實(shí)數(shù)，則 時(shí)，能取到所有大于0的實(shí)數(shù) 時(shí)，且Δ 綜上 一題多解 一題多變（五） 題目：橢圓的焦點(diǎn)是，橢圓上一點(diǎn)P滿足，下面結(jié)論正確的是———————————————————————（ ） （A）P點(diǎn)有兩個(gè) （B）P點(diǎn)有四個(gè) （C）P點(diǎn)不一定存在 （D）P點(diǎn)一定不存在 解法一： 以為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選D 解法二： 由題知，而在橢圓中：，不可能成立故選D 解法三： 由題意知當(dāng)p點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處最大，設(shè)，此時(shí)為銳角，與題設(shè)矛盾。故選D 解法四： 設(shè)，由知，而無解，故選D 解法五： 設(shè)，假設(shè)，則，而 即：，不可能。故選D 解法六：，故不可能。故選D 解法七：設(shè)由焦半徑知： 而在橢圓中而>,故不符合題意，故選D 解法八. 設(shè)圓方程為： 橢圓方程為： 兩者聯(lián)立解方程組得： 不可能 故圓與橢圓無交點(diǎn) 即 不可能垂直 故選D 一題多解 一題多變（六） 一變題：課本P110 寫出數(shù)列的前5項(xiàng)： 變題：已知函數(shù)，設(shè)的反函數(shù)為， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由題意得，， ，令，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 故 從而， 二、一題多解 已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；- （2）若對(duì)于任意恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍， 解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 由性質(zhì)可知，在上是增函數(shù) ，所以在是增函數(shù)，在區(qū)間上的最小值為 （2）法一：在區(qū)間上，恒成立恒成立 設(shè)，在上增 所以時(shí)，，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立， 故 法二： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值恒為正； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成，故 法三：在區(qū)間上，恒成立恒成立 恒成立，故應(yīng)大于，時(shí)的最大值-3， 所以 一題多解 一題多變（七） 原題：:若,則 分析:用倒數(shù)換元 解: 令, 所以 將t換成x得到: 變題1：設(shè)滿足關(guān)系式求的解析式 　　　解：　 將t換成x得到: 與原式聯(lián)立方程組消去得到 變題2：已知，其中試求的解析式 解：用相反數(shù)換元 令代入到原式當(dāng)中得到： 將t換成x得到: 與原式聯(lián)立方程組，得到： 變題3：已知，試求的解析式 解：令，則 將 中t換－t得到: 與聯(lián)立方程組得到： 變題4：已知求 解：設(shè) 代入原式得： 將t換成—t得到: 與上式聯(lián)立方程組得到 的解析式為： 一題多解 題目：設(shè)二次函數(shù)滿足且函數(shù)圖象y軸上的截距為1，被x軸截的線段長(zhǎng)為，求的解析式 分析：設(shè)二次函數(shù)的一般形式，然后根據(jù)條件求出待定系數(shù)a,b,c 解法一：設(shè) 由 得： 又 由題意可知 解之得： 解法二： 故函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸 可設(shè) 函數(shù)圖象與y軸上的截距為1，則 又 被x軸截的線段長(zhǎng)為，則 整理得： 解之得： 解法三：： 故 函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，又 與x軸的交點(diǎn)為： 故可設(shè) 一題多解 一題多變（八） 原題 設(shè)有反函數(shù)，又與 互為反函數(shù)，則（《教學(xué)與測(cè)試》P77） 變題 設(shè)有反函數(shù)，又的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱 （1） 求及的值； （2） 若均為整數(shù)，請(qǐng)用表示及 解(1)因的反函數(shù)是，從而,于是有，令得；同樣，得反函數(shù)為，從而，于是，． (2) ,而,故,即, …，從而． 　 同理，． 一題多解 1．函數(shù)，則( ) （A） （B） （C） （D） 解法1. 由知的圖象關(guān)于對(duì)稱，得而，且，因此. 解法2.由知的圖象關(guān)于對(duì)稱，而，而在[－1,1]上遞減，易得答案為B． y -1 0 1 x 一題多解 一題多變（九） 姜忠杰 變 題 原題：若在區(qū)間=在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是多少？ 變1：若函數(shù)=在上是減函數(shù)，則的取值范圍是多少？ 變2、若函數(shù)=在上是增函數(shù)，則的取值范圍是多少？ 變3、若函數(shù)=在上是增函數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)镽，則的取值范圍是多少？ 解：函數(shù)的減區(qū)間為， - 變1、設(shè)，則在為減函數(shù)，且在，0 所以有且（），的取值范圍是 變2：設(shè)，則在為減函數(shù)，且在，0- 所以有且（），的取值范圍是 變3：設(shè)，則在減區(qū)間，在取到一切正實(shí)數(shù) ，，所以或 一題多解： 設(shè) ，，求的值。 解法一（構(gòu)造函數(shù)）：設(shè)，則，由于在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故。 解法二（圖象法） 因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，也就是方程的一個(gè)根 是方程的一個(gè)根，也就是方程的一個(gè)根 令，，，在同一坐標(biāo)系中作出他們的圖象，如圖所示： 是方程的根，即圖中OA= 是方程的根，即圖中OB= 易得OA+OB=10，所以 解法三：方程，的根為，由，得，，又， ， 一題多解 一題多變（十） （課本P102 ）證明： 變題：1、如圖所示，是定義在[0，1]上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對(duì)[0，1]中的任意的，任意恒成立”的只有（ A ） A、 B、 C、 D、 變題2、定義在R上的函數(shù)滿足：如果對(duì)于任意都有 則稱函數(shù)是R上的凹函數(shù)。已知二次函數(shù) （1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是凹函數(shù)； （2）如果時(shí)，，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。 （1）證明：略 （2）實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、一題多解 不查表計(jì)算： 解法一：原式= = = = 解法二：原式= =1- =1 解法三：原式= = =1 解法四：原式= = =1 解法五：原式= = = =1 一題多解 一題多變（十一） 一題多解- 1． 已知（，求的值 解法1 先求反函數(shù) 由得 且 故原函數(shù)的反函數(shù)是 解法2從互為反函數(shù)的函數(shù)的關(guān)系看 令解得 即 變題 2． 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)， （1） 求證 （2） 判斷的單調(diào)性 證明 （1）令得 - 令，得 （2）設(shè)，則 在R上是單調(diào)函數(shù) 變題 1. 已知函數(shù)是定義R在上的增函數(shù)，且滿足 （1） 求的值 （2） 若解不等式 解 （1） 令，得 - （3） 在中，令得 從而 又原不等式可化為 ， 且是上的增函數(shù)， 原不等式等價(jià)于 又 解得 原不等式的解集為（0，4） 一題多解 一題多變（十二） 考查知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱中心 原題：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 解：該函數(shù)定義域?yàn)镽，且+ == ，該函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 變題1：已知函數(shù)滿足則的圖象的關(guān)于對(duì)稱 解：為奇函數(shù)，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于對(duì)稱。 變題2：已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 解：由得，，－1為奇函數(shù)，即－1的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，的圖象關(guān)于對(duì)稱 變題3：已知函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱 解：令，則，故由得，即 滿足，即，的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，故的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱。 結(jié)論：若函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于對(duì)稱。 變題4：已知求證：（1）（2）指出該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心并說明理由。 （3）求的值。 （1）證明：，得證。- （2）解：該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，由得 即，的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故的圖象關(guān)于對(duì)稱。 （3）解：，故，，……， =500 變題5：求證：二次函數(shù)的圖象沒有對(duì)稱中心。 證明：假設(shè)是的圖象的對(duì)稱中心，則對(duì)任意，都有，即恒成立， 即有恒成立，也就是且與矛盾 所以的圖象沒有對(duì)稱中心。 一題多解 一題多變（十三） 題目：已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解法一：在區(qū)間上，恒成立恒成立，設(shè)在遞增 ，當(dāng)x=1時(shí)，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，故 a>—3。 解法二：當(dāng)a的值恒為正,當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)為增函數(shù)故當(dāng)x=1時(shí)于是當(dāng)且僅當(dāng)3+a>)時(shí)恒成立, 故 a>—3。 解法三：在區(qū)間上恒成立恒成立恒成立，故a應(yīng)大于時(shí)的最大值—3， 當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值 —3 題目： 將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式。 解： 將函數(shù)中的x換成x+1，y換成y-1得 變題1：作出函數(shù)的圖象 解： 函數(shù)=，它是由函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到。圖象為： 變題2：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 解： 由圖象知 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： 變題3：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 解： 由 得 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 變題4： 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 解： 由，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 為 變題5 函數(shù)的反函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（-1，3），求實(shí)數(shù)a 解： 由知對(duì)稱中心為（（a+1，-1），所以它的反函數(shù)的對(duì)稱中心為（-1，a+1），由題意知：a+1=3 得a=2。 變題6 ：函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱求a的值 解： 因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)是它本身，且過點(diǎn)（2，0），所以其反函數(shù)的圖象必過點(diǎn)（0，2），即函數(shù)也過點(diǎn)（0，2），代入得a=-1。 變題7 設(shè)（a，b）與（c，d）都是函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間， 且則與的大小關(guān)系為（ ） （A）（B）（C）（D）不能確定 解 ： 構(gòu)造函數(shù)它在上都是增函數(shù)，但在上無單調(diào)性，故選D 變題8：討論函數(shù)在上的單調(diào)性。 解： 由的圖象知 ，當(dāng) 時(shí)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)在上為減函數(shù) 一題多解 一題多變（十四） 已知，求證： 變 題 1、已知數(shù)列滿足，，試比較與的大小 2、已知，且，求證： 3、已知，求證： 解： 原題：證明：作差-‘ ， 1、 2、- ，，又 ， - 3、作差 ， 一 題 多 解 已知數(shù)列滿足，，試比較與的大小 方法一：作差-=， 方法二：作商 - 方法三：（單調(diào)性），關(guān)于單調(diào)遞增 方法四：濃度法 把看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著的增大（相當(dāng)于向溶液中加糖），濃度 當(dāng)然增大，易得 一題多解 一題多變（十五） 例、-恒成立，求的取值范圍 解：1、當(dāng) 時(shí) 2、 - ∴ 變式1：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍。 解：由題意得恒成立， ∴1、當(dāng) 時(shí) 2、 - ∴ 變式2、函數(shù)的定義域?yàn)榈某湟獥l件是什么 解：由題意得恒成立， ∴1、當(dāng) 時(shí) 2、 - ∴ 變式3、的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍。 解：由題意得恒成立， ∴1、當(dāng) 時(shí) 2、 - ∴ 變式4、的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：由題意得-無解即- 或 ∴ 變式5、-的定義域?yàn)镽，求的取值范圍 解：由題意得恒成立， ∴1、當(dāng) 時(shí) 2、 - ∴ 一題多解 徐曉洲 求的值域 法一：常數(shù)分離法 ∴ 即- ∴值域?yàn)閇，1 法二：反解法 由 ∴函數(shù)的值域?yàn)閇，1 法三：判別式法 由 即：1、當(dāng)時(shí) 故舍去 2、當(dāng)時(shí) 所以函數(shù)的值域?yàn)閇，1 - 36 -