2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十八講等腰三角形與直角三角形 知識(shí)點(diǎn)+真題學(xué)案

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2020年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案 第三章 圖形的認(rèn)識(shí)與三角形 第十八講 等腰三角形與直角三角形 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 一、等腰三角形 1、定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊 三角形 2、等腰三角形的性質(zhì)： ⑴等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個(gè)底角 簡(jiǎn)稱為 ⑵等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡(jiǎn)稱為 ⑶等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸，是 3、等腰三角形的判定： ⑴定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 ⑵有兩 相等的三角形是等腰三 角形，簡(jiǎn)稱 注意： 1、等腰三角形的性質(zhì)還有：等腰三角形兩腰上的 相等，兩腰上的 相等，兩底角的平分線也相等 。 2、因?yàn)榈妊切窝偷捉堑奶厥庑?，所以在題目中往常出現(xiàn)對(duì)邊和角的討論問題，討論邊時(shí)應(yīng)注意保證 ，討論角時(shí)應(yīng)主要底角只被為 角 4、等邊三角形的性質(zhì)：⑴等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都 都等于 ⑵等邊三角形也是 對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸 5、等邊三角形的判定： ⑴有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形 ⑵有一個(gè)角是 度的 三角形是等邊三角形 注意： 1、等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì) 2、有一個(gè)角是直角的等腰三角形是 三角形】 二、線段的垂直平分線和角的平分線 1、線段垂直平分線定義： 一條線段且 這條線段的直線叫做線段的垂直平分線 2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到 得距離相等 3、判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 4、角的平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到 的距離相等 5、角的平分線判定：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在 注意： 1、線段的垂直平分可以看作是 的點(diǎn)的集合，角平分線可以看作是 的點(diǎn)的集合。 2、要能夠用尺規(guī)作一條已知線段的垂直平分線和已知角的角平分線 三、直角三角形： 1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 個(gè)直角三角形的兩直角邊為a、b斜邊為c則a、b、c滿足 逆定理：若一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足 則這個(gè)三角形是直角三角形 注意： ⑴、勾股定理在幾何證明和計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛，要注意和二次根式的結(jié)合 ⑵、勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據(jù)， ⑶、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組 、 、 2、直角三角形的性質(zhì)： 除勾股定理外，直角三角形還有如下性質(zhì)： ⑴直角三角形兩銳角 ⑵直角三角形斜邊的中線等于 ⑶在直角三角形中如果有一個(gè)銳角是300，那么它所對(duì) 邊是 邊的一半 3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法： ⑴定義法有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形 ⑵有兩個(gè)角 的三角形是直角三角形 ⑶如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的 這個(gè)三角形是直角三角形 注意：直角三角形的有關(guān)性質(zhì)在四邊形、相似圖形、圓中均有廣泛應(yīng)用，要注意這幾條性質(zhì)的熟練掌握和靈活運(yùn)用 【中考真題考點(diǎn)例析】 考點(diǎn)一：角的平分線 例1 （麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 15 ． 對(duì)應(yīng)練習(xí)1－1 （泉州）如圖，∠AOB=70，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= 35 ． 考點(diǎn)二：線段垂直平分線 例2 （2019山東東營(yíng)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點(diǎn)，作直線DE交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連結(jié)CF，若AC=3，CG=2，則CF的長(zhǎng)為（ ） A． B．3 C．2 D． 對(duì)應(yīng)練習(xí)2－1 （義烏市）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，若∠AOC=125，則∠ABC= 70 ． 對(duì)應(yīng)練習(xí)2－2 （天門）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（　?。? A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 考點(diǎn)三：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用 例3 （2019年棗莊）用一條寬度相等的足夠長(zhǎng)的紙條打一個(gè)結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形．圖中，____度． 對(duì)應(yīng)練習(xí)3－1 （武漢）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 對(duì)應(yīng)練習(xí)3－2 （云南）如圖，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68，則∠ACD= 44 ． 考點(diǎn)四：等邊三角形的判定與性質(zhì) 例4 （黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 15 度． 對(duì)應(yīng)練習(xí)4－1 （黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= ． 考點(diǎn)五：三角形中位線定理 例5 (2019聊城中考)如圖，在中，，，為的中位線，延長(zhǎng)至，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則的周長(zhǎng)為_______． 對(duì)應(yīng)練習(xí)5－1 （2019年威海）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，過點(diǎn)C作CE⊥BC，交AD于點(diǎn)E，連接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，則CD＝ 對(duì)應(yīng)練習(xí)5－2 （昆明）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠A=50，∠ADE=60，則∠C的度數(shù)為（　　） A．50 B．60 C．70 D．80 考點(diǎn)八：三角形、中垂線及角平分線相關(guān)的尺規(guī)作圖 例8 ( 2019山東濟(jì)寧)如圖，點(diǎn)M和點(diǎn)N在∠AOB內(nèi)部． （1）請(qǐng)你作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，且到∠AOB兩邊的距離也相等（保留作圖痕跡，不寫作法）； O A B C D E M （2）請(qǐng)說明作圖理由． 對(duì)應(yīng)練習(xí)8－1 （2019濰坊）如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖： ①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點(diǎn)，連接CD． ②分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE． ③連接OE交CD于點(diǎn)M． 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四邊形OCED=CDOE 對(duì)應(yīng)練習(xí)8－2 （2019年棗莊）如圖，是菱形的對(duì)角線，，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）條件下，連接，求的度數(shù)． 【聚焦中考真題】 一、選擇題 1．（2019年山東濱州）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的為（ ） A．AB=，BC=4，AC=5 B．AB︰BC︰AC=3︰4︰5 C．∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5 D． 2．（臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 3．（棗莊）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長(zhǎng)為（　　） A．20 B．12 C．14 D．13 4．（淄博）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長(zhǎng)為（　?。? A．? ? B．? ? C．3 D．4 5．（威海）如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn) 6．（萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．8 7．（遂寧）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（　　） ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（鐵嶺）如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2-8x+15=0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長(zhǎng)可能是（　?。? A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 9．（柳州）在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（　?。? A．? ? B．? ? C．? ? D．? 10．（德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10．若以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC=（　?。? A．5 B．?5? C．?5? ? D．6 11．（大慶）正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3，依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A．? ? B．? ? C．? ? D．? 12．（南充）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=70，則∠A的度數(shù)是（　?。? A．70 B．55 C．50 D．40 13．（淮安）若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（　?。? A．5 B．7 C．5或7 D．6 14．（長(zhǎng)沙）下列各圖中，∠1大于∠2的是（　?。? A． B． C． D． 15．（宜昌）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．8 B．6 C．4 D．2 16．（南平）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48，則下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．∠B=48 B．∠AED=66 C．∠A=84 D．∠B+∠C=96 17．（鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=?2．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．1 D．12 18．（ 徐州）若等腰三角形的頂角為80，則它的底角度數(shù)為（　?。? A．80 B．50 C．40 D．20 19．（成都）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空題： 20．（濱州）在△ABC中，∠C=90，AB=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為 ． 21．（煙臺(tái)）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長(zhǎng)為 15 ． 22．（泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，若∠F=30，DE=1，則BE的長(zhǎng)是 2 ． 23．（煙臺(tái)）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為 108 度． 24．（菏澤）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是 之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)） （寫出1個(gè)即可）． 25．（莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ． 26．（廈門）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長(zhǎng)是18厘米，則EF= 3 厘米． 27．（白銀）等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊為 6，4或5，5 ． 28．（廣州）點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 7 ． 29．（長(zhǎng)沙）如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=4cm，則點(diǎn)P到邊BC的距離為 4 cm． 30．（宿遷）如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A、B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 40 m． 31．（漳州）如圖，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是 ． 32．（泰州）如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長(zhǎng)為 6 cm． 33．（吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，8）．以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （4，0） ． 34．（資陽(yáng)）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠AOB=60，AC=10，則AB= 5 ． 35．（錦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點(diǎn)E，垂足為D，連接BE．已知AE=5，tan∠AED=，則BE+CE= 6或16 ． 36．（無(wú)錫）如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= 45 ． 37．（鄂州）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家．他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來．若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10 cm． 38．（沈陽(yáng)）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是 1，7 ． 39．（哈爾濱）在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為 ． 40.（揚(yáng)州）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為 6 ． 41．（濱州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50，則∠B= 65 ． 三、解答題 42.（2019年棗莊）在中，，，于點(diǎn)． （1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)； （2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：； （3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：． 43．（威海）操作發(fā)現(xiàn) 將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合． 問題解決 將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②． （1）求證：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)． 44．（湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的長(zhǎng)； （2）求△ADB的面積． 45．（永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3。 （1）求證：BN=DN； （2）求△ABC的周長(zhǎng)．