2020年中考數(shù)學一輪復習 第十八講等腰三角形與直角三角形 知識點+真題學案

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2020年中考數(shù)學第一輪復習教案 第三章 圖形的認識與三角形 第十八講 等腰三角形與直角三角形 【基礎知識回顧】 一、等腰三角形 1、定義：有兩邊 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等邊 三角形 2、等腰三角形的性質： ⑴等腰三角形的兩腰 等腰三角形的兩個底角 簡稱為 ⑵等腰三角形的頂角平分線 、 互相重合，簡稱為 ⑶等腰三角形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸，是 3、等腰三角形的判定： ⑴定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 ⑵有兩 相等的三角形是等腰三 角形，簡稱 注意： 1、等腰三角形的性質還有：等腰三角形兩腰上的 相等，兩腰上的 相等，兩底角的平分線也相等 。 2、因為等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在題目中往常出現(xiàn)對邊和角的討論問題，討論邊時應注意保證 ，討論角時應主要底角只被為 角 4、等邊三角形的性質：⑴等邊三角形的每個內角都 都等于 ⑵等邊三角形也是 對稱圖形，它有 條對稱軸 5、等邊三角形的判定： ⑴有三個角相等的三角形是等邊三角形 ⑵有一個角是 度的 三角形是等邊三角形 注意： 1、等邊三角形具備等腰三角形的所有性質 2、有一個角是直角的等腰三角形是 三角形】 二、線段的垂直平分線和角的平分線 1、線段垂直平分線定義： 一條線段且 這條線段的直線叫做線段的垂直平分線 2、性質：線段垂直平分線上的點到 得距離相等 3、判定：到一條線段兩端點距離相等的點在 4、角的平分線性質：角平分線上的點到 的距離相等 5、角的平分線判定：到角兩邊距離相等的點在 注意： 1、線段的垂直平分可以看作是 的點的集合，角平分線可以看作是 的點的集合。 2、要能夠用尺規(guī)作一條已知線段的垂直平分線和已知角的角平分線 三、直角三角形： 1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 個直角三角形的兩直角邊為a、b斜邊為c則a、b、c滿足 逆定理：若一個三角形的三邊a、b、c滿足 則這個三角形是直角三角形 注意： ⑴、勾股定理在幾何證明和計算中應用非常廣泛，要注意和二次根式的結合 ⑵、勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或證明線段垂直的主要依據， ⑶、勾股數(shù)，列舉常見的勾股數(shù)三組 、 、 2、直角三角形的性質： 除勾股定理外，直角三角形還有如下性質： ⑴直角三角形兩銳角 ⑵直角三角形斜邊的中線等于 ⑶在直角三角形中如果有一個銳角是300，那么它所對 邊是 邊的一半 3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形還有如下判定方法： ⑴定義法有一個角是 的三角形是直角三角形 ⑵有兩個角 的三角形是直角三角形 ⑶如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的 這個三角形是直角三角形 注意：直角三角形的有關性質在四邊形、相似圖形、圓中均有廣泛應用，要注意這幾條性質的熟練掌握和靈活運用 【中考真題考點例析】 考點一：角的平分線 例1 （麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 15 ． 對應練習1－1 （泉州）如圖，∠AOB=70，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= 35 ． 考點二：線段垂直平分線 例2 （2019山東東營）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，分別以點B和點C為圓心，大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于D、E兩點，作直線DE交AB于點F，交BC于點G，連結CF，若AC=3，CG=2，則CF的長為（ ） A． B．3 C．2 D． 對應練習2－1 （義烏市）如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連結OC，若∠AOC=125，則∠ABC= 70 ． 對應練習2－2 （天門）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（　?。? A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 考點三：等腰三角形性質的運用 例3 （2019年棗莊）用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形．圖中，____度． 對應練習3－1 （武漢）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是（　?。? A．18 B．24 C．30 D．36 對應練習3－2 （云南）如圖，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68，則∠ACD= 44 ． 考點四：等邊三角形的判定與性質 例4 （黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 15 度． 對應練習4－1 （黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= ． 考點五：三角形中位線定理 例5 (2019聊城中考)如圖，在中，，，為的中位線，延長至，使，連接并延長交于點．若，則的周長為_______． 對應練習5－1 （2019年威海）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，過點C作CE⊥BC，交AD于點E，連接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，則CD＝ 對應練習5－2 （昆明）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，∠A=50，∠ADE=60，則∠C的度數(shù)為（　　） A．50 B．60 C．70 D．80 考點八：三角形、中垂線及角平分線相關的尺規(guī)作圖 例8 ( 2019山東濟寧)如圖，點M和點N在∠AOB內部． （1）請你作出點P，使點P到點M和點N的距離相等，且到∠AOB兩邊的距離也相等（保留作圖痕跡，不寫作法）； O A B C D E M （2）請說明作圖理由． 對應練習8－1 （2019濰坊）如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖： ①以點O為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點，連接CD． ②分別以點C，D為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點E，連接CE，DE． ③連接OE交CD于點M． 下列結論中錯誤的是（ ） A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四邊形OCED=CDOE 對應練習8－2 （2019年棗莊）如圖，是菱形的對角線，，（1）請用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）條件下，連接，求的度數(shù)． 【聚焦中考真題】 一、選擇題 1．（2019年山東濱州）滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的為（ ） A．AB=，BC=4，AC=5 B．AB︰BC︰AC=3︰4︰5 C．∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5 D． 2．（臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結論不一定成立的是（　?。? A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 3．（棗莊）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（　?。? A．20 B．12 C．14 D．13 4．（淄博）如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為（　?。? A．? ? B．? ? C．3 D．4 5．（威海）如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結論錯誤的是（　?。? A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．點D為線段AC的黃金分割點 6．（萊蕪）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，），M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．8 7．（遂寧）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　?。? ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（鐵嶺）如果三角形的兩邊長分別是方程x2-8x+15=0的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是（　?。? A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 9．（柳州）在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長為（　?。? A．? ? B．? ? C．? ? D．? 10．（德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則AC=（　　） A．5 B．?5? C．?5? ? D．6 11．（大慶）正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A．? ? B．? ? C．? ? D．? 12．（南充）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=70，則∠A的度數(shù)是（　?。? A．70 B．55 C．50 D．40 13．（淮安）若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1，則此等腰三角形的周長為（　　） A．5 B．7 C．5或7 D．6 14．（長沙）下列各圖中，∠1大于∠2的是（　　） A． B． C． D． 15．（宜昌）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（　?。? A．8 B．6 C．4 D．2 16．（南平）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48，則下列結論中不正確的是（　?。? A．∠B=48 B．∠AED=66 C．∠A=84 D．∠B+∠C=96 17．（鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=?2．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　　） A．6 B．8 C．1 D．12 18．（ 徐州）若等腰三角形的頂角為80，則它的底角度數(shù)為（　　） A．80 B．50 C．40 D．20 19．（成都）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空題： 20．（濱州）在△ABC中，∠C=90，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 ． 21．（煙臺）如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O．點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為 15 ． 22．（泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30，DE=1，則BE的長是 2 ． 23．（煙臺）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為 108 度． 24．（菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是 之間的任意兩個實數(shù)） （寫出1個即可）． 25．（莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ． 26．（廈門）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長是18厘米，則EF= 3 厘米． 27．（白銀）等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊為 6，4或5，5 ． 28．（廣州）點P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 7 ． 29．（長沙）如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點，PE⊥BA于點E，PE=4cm，則點P到邊BC的距離為 4 cm． 30．（宿遷）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A、B間的距離，在地面上確定點O，分別取OA、OB的中點C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 40 m． 31．（漳州）如圖，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點A表示的數(shù)是 ． 32．（泰州）如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為 6 cm． 33．（吉林）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（-6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為 （4，0） ． 34．（資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60，AC=10，則AB= 5 ． 35．（錦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE．已知AE=5，tan∠AED=，則BE+CE= 6或16 ． 36．（無錫）如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= 45 ． 37．（鄂州）著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學家、發(fā)明家．他曾經設計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來．若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10 cm． 38．（沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是 1，7 ． 39．（哈爾濱）在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90，連接CD，則線段CD的長為 ． 40.（揚州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為 6 ． 41．（濱州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50，則∠B= 65 ． 三、解答題 42.（2019年棗莊）在中，，，于點． （1）如圖1，點，分別在，上，且，當，時，求線段的長； （2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：； （3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：． 43．（威海）操作發(fā)現(xiàn) 將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合． 問題解決 將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖②． （1）求證：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的長． 44．（湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的長； （2）求△ADB的面積． 45．（永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3。 （1）求證：BN=DN； （2）求△ABC的周長．