高三數學第一篇二 函數與導數刺 第3講 導數及其應用第1課時 導數與函數性質 文

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1、第第1 1課時導數與函數性質課時導數與函數性質考情分析考情分析總綱目錄考點一 導數的幾何意義考點二 利用導數研究函數的單調性考點三 利用導數研究函數的極值(最值)1.導數的幾何意義函數f(x)在x0處的導數是曲線f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率,曲線f(x)在點P處的切線的斜率k=f (x0),相應的切線方程為y-f(x0)=f (x0)(x-x0).第第1 1課時導數與函數性質課時導數與函數性質考點一 導數的幾何意義2.四個易錯導數公式(1)(sin x)=cos x;(2)(cos x)=-sin x;(3)(ax)=axln a(a0且a1);(4)(logax)=(a0且

2、a1).1lnxa典型例題典型例題(1)(2017課標全國,14,5分)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為 .(2)(2017云南第一次統考)已知函數f(x)=axln x+b(a,bR),若f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y=0,則a+b= .1x答案答案(1)x-y+1=0(2)4解析解析(1)y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.(2)由題意,得f (x)=aln x+a,所以f (1)=a,因為函數f(x)的圖象在x=1處的切線方程為2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,則21-b=0,所以b=2,故a+b

3、=4.1x21x方法歸納方法歸納求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點P(x0,y0),求切線方程求出切線的斜率f (x0),由點斜式寫出方程;(2)已知切線的斜率k,求切線方程設切點P(x0,y0),通過方程k=f (x0)解得x0,再由點斜式寫出方程;(3)已知切線上一點(非切點),求切線方程設切點P(x0,y0),利用導數求得切線斜率f (x0),再由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點斜式或兩點式寫出方程.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017廣東廣州綜合測試(一)設函數f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線方程為x+y=0

4、,則點P的坐標為()A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)答案答案 D由題意知,f (x)=3x2+2ax,所以曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率為f (x0)=3+2ax0,又切線方程為x+y=0,所以x00,且解得或所以當時,點P的坐標為(1,-1);當時,點P的坐標為(-1,1),故選D.20 x20032000321,0,xaxxxax 02,1ax 02,1,ax 01,2xa 01,2xa 2.(2017四川成都第二次檢測)若曲線y=f(x)=ln x+ax2(a為常數)不存在斜率為負數的切線,則實數a的取值范圍是()A

5、. B.C.(0,+) D.0,+)1,21,2答案答案 D f (x)=+2ax=(x0),根據題意有f (x)0(x0)恒成立,所以2ax2+10(x0)恒成立,即2a-(x0)恒成立,所以a0,故實數a的取值范圍為0,+).故選D.1x221axx21x3.(2017四川成都第一次檢測)已知曲線C1:y2=tx(y0,t0)在點M處的切線與曲線C2:y=ex+1+1也相切,則t的值為()A.4e2 B.4eC. D. 4,2t2e4e4答案答案 A由y=,得y=,則切線斜率為k=,所以切線方程為y-2=.即y=x+1.設切線與曲線y=ex+1+1的切點為(x0,y0).由y=ex+1+1

6、,得y=ex+1,則由=,得切點坐標為,故切線方程又可表示為y-1=,即y=x-ln+1,所以由題意,得-ln+1=1,即ln=2,解得t=4e2,故選A.tx2ttx4t4t4xt4t01ex 4tln1,144tt4t4tln14tx4t4t4t2t4t4t2t4t考點二 利用導數研究函數的單調性導數與函數單調性的關系(1)f (x)0是f(x)為增函數的充分不必要條件,如函數f(x)=x3在(-,+)上單調遞增,但f (x)0.(2)f (x)0是f(x)為增函數的必要不充分條件,當函數在某個區(qū)間內恒有f (x)=0時,則f(x)為常數函數,函數不具有單調性.典型例題典型例題(2017課

7、標全國,21,12分)已知函數f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)0,求a的取值范圍.解析解析(1)函數f(x)的定義域為(-,+),f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,則f(x)=e2x,在(-,+)單調遞增.若a0,則由f (x)=0得x=ln a.當x(-,ln a)時, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)單調遞減,在(ln a,+)單調遞增.若a0,則由f (x)=0得x=ln.當x時,f (x)0.故f(x)在單調遞減,在單調遞增.(2)若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,則由

8、(1)得,當x=ln a時, f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a2ln a,從而當且僅當-a2ln a0,即a1時, f(x)0.若a0).(1)當m=1時,求曲線y=f(x)g(x)在x=1處的切線方程;(2)討論函數F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上的單調性.1xx 解析解析(1)當m=1時,y=f(x)g(x)=,y=,x=1時,切線的斜率k=y|x=1=,又切線過點(1,0),所以切線方程為y=(x-1),即x-2y-1=0.(2)由已知得,F(x)=mln x-,所以F(x)=-=,當m0時,F(x)0時,令k(x)=mx2+(2m-1)x+m,=(2m-1)2

9、-4m2=1-4m,當0,即m時,k(x)0恒成立,此時F(x)0,函數F(x)在(0,+)上單ln1xxx2(1 ln )(1)ln(1)x xxxx2ln1(1)xxx12121xx mx21(1)x22(1)(1)m xxx x22(21)(1)mxmxmx x14調遞增,當0,即0m時,方程mx2+(2m-1)x+m=0有兩個不相等的實數根,設為x1,x2,并令x1x2,則所以0 x11x2,其中x1=,x2=,此時,函數F(x)在(0,x1),(x2,+)上單調遞增;在(x1,x2)上單調遞減.綜上所述,當m0時,F(x)在(0,+)上單調遞減;當0m0,右側f (x)0,則f(x0

10、)為函數f(x)的極大值;若在x0附近左側f (x)0,則f(x0)為函數f(x)的極小值.(2)設函數y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內可導,則f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.典型例題典型例題(2017山東,20,13分)已知函數f(x)=x3-ax2,aR.(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3, f(3)處的切線方程;(2)設函數g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,討論g(x)的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值.解析(1)由題意f (x)=x2-ax,所以當a=2時, f(3)=0, f (x)=x2-2x,所以f (3)

11、=3,因此,曲線y=f(x)在點(3, f(3)處的切線方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因為g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x1312=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,則h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上單調遞增.因為h(0)=0,所以當x0時,h(x)0;當x0時,h(x)0.當a0時,g(x)=(x-a)(x-sin x),當x(-,a)時,x-a0,g(x)單調遞增;當x(a,0)時,x-a0,g(x)0,g

12、(x)0,g(x)單調遞增.所以當x=a時g(x)取到極大值,極大值是g(a)=-a3-sin a,當x=0時g(x)取到極小值,極小值是g(0)=-a.當a=0時,g(x)=x(x-sin x),當x(-,+)時,g(x)0,g(x)單調遞增;所以g(x)在(-,+)上單調遞增,g(x)無極大值也無極小值.當a0時,g(x)=(x-a)(x-sin x),當x(-,0)時,x-a0,g(x)單調遞增;當x(0,a)時,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調遞增.所以當x=0時g(x)取到極大值,極大值是g(0)=-a;16當x=a時g(x)取到極小值,極小值是g(a)=-a3-sin

13、 a.綜上所述:當a0時,函數g(x)在(-,0)和(a,+)上單調遞增,在(0,a)上單調遞減,函數既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)=-a,極小值是g(a)=-a3-sin a.161616方法歸納方法歸納利用導數研究函數極值、最值的方法(1)若求極值,則先求方程f (x)=0的全部實根,再檢驗f (x)在方程根的左右兩側值的符號.(2)若已知極值大小或存在情況,則轉化為已知方程f (x)=0的根的大小或存在情況,從而求解.(3)求函數f(x)在閉區(qū)間a,b的最值時,在得到極值的基礎上,結合區(qū)間端點的函數值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值.跟蹤集訓跟蹤集訓(

14、2017北京,20,13分)已知函數f(x)=excos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程;(2)求函數f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解析(1)因為f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y=1.(2)設h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.當x時,h(x)0,所以h(x)在區(qū)間上單調遞減.0,20,20,2所以對任意x有h(x)h

15、(0)=0,即f (x)0且x1, f (x)=-+=,記g(x)=x2-(m+2)x+1,x0,且x1,要使函數f(x)在(e,+)上有極值點,則方程x2-(m+2)x+1=0有兩個不同的實根x1,x2,=-(m+2)2-40,解得m0或me,所以0 x1e0,所以只需即解得me+-2.21mxmx(1)(1)(1)m xxx1mx2(1)mx1x22(2)1(1)xmxx x1e(e)0,10,egg 22e(2)e10,11(2)10,eemm 1e答案答案 1e2,e3.函數f(x)=x3+x2-3x-4在0,2上的最小值是 .13答案答案- 173解析解析 f (x)=x2+2x-3,令f (x)=0,得x=1(x=-3舍去),又f(0)=-4,f(1)=-, f(2)=-,故f(x)在0,2上的最小值是f(1)=-.1731031734.若函數f(x)=-x3+x2+2ax在上存在單調遞增區(qū)間,則a的取值范圍是 .13122,3答案答案 1,9解析解析對f(x)求導,得f (x)=-x2+x+2a=-+2a.當x時, f (x)的最大值為f =+2a,令+2a0,解得a-.所以a的取值范圍是.212x142,3232929191,9