高三數(shù)學(xué)第一篇五 立體幾何刺 第2講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 文

第第2 2講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 空間線面位置關(guān)系的判斷考點(diǎn)二 空間平行、垂直關(guān)系的證明考點(diǎn)三 空間幾何圖形的翻折問題考點(diǎn)一 空間線面位置關(guān)系的判斷空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理解決;(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷.典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó),6,5分)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()(2)(2017課標(biāo)全國(guó),10,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案答案(1)A(2)C解析解析(1)B選項(xiàng)中,ABMQ,且AB 平面MNQ,MQ平面MNQ,則AB平面MNQ;C選項(xiàng)中,ABMQ,且AB 平面MNQ,MQ平面MNQ,則AB平面MNQ;D選項(xiàng)中,ABNQ,且AB 平面MNQ,NQ平面MNQ,則AB平面MNQ.故選A.(2)A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1,BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,BC1A1E.故選C.判斷空間線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問題解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能引用到立體幾何中.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,m,n,則mnB.若m,mn,n,則C.若mn,m,n,則D.若,m,n,則mn答案答案B若,m,n,則m與n相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;若mn,m,n,則與有可能相交但不垂直,故C錯(cuò)誤;若,m,n,則mn或m,n異面,故D錯(cuò)誤.故選B.2.(2017四川成都第二次診斷性檢測(cè))已知m,n是空間中兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,且m,n,有下列命題:若,則mn;若,則m;若=l,且ml,nl,則;若=l,且ml,mn,則,其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案答案B若,則mn或m,n異面,故不正確;若,根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì),可得m,故正確;直線m,n同時(shí)垂直于公共棱,不能推出兩個(gè)平面垂直,故不正確;若=l,且ml,mn,l與n相交則,若ln,則,不一定垂直.故選B.考點(diǎn)二 空間平行、垂直關(guān)系的證明1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判斷定理:a ,b,aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理:a,a,=bab.(3)面面平行的判斷定理:a,b,ab=P,a,b.(4)面面平行的性質(zhì)定理:,=a,=bab.2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理:,=l,a,ala.典型例題典型例題(2017北京,18,14分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證:PABD;(2)求證:平面BDE平面PAC;(3)當(dāng)PA平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.解析解析(1)證明:因?yàn)镻AAB,PABC,ABBC=B,所以PA平面ABC.又因?yàn)锽D平面ABC,所以PABD.(2)證明:因?yàn)锳B=BC,D為AC中點(diǎn),所以BDAC.由(1)知,PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因?yàn)镻A平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以DE=PA=1,BD=DC=.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱錐E-BCD的體積V=BDDCDE=.1221613線面平行及線面垂直的證明方法(1)要證線面平行,主要有兩個(gè)途徑:一是證已知直線與平面內(nèi)的某直線平行;二是證過已知直線的平面與已知平面平行.在這里轉(zhuǎn)化思想在平行關(guān)系上起著重要的作用,在尋找平行關(guān)系上,利用中位線、平行四邊形等是非常常見的手段.(2)要證線面垂直,關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)能找出兩條相交直線和已知直線垂直,即線線垂直線面垂直.結(jié)合圖形還要注意一些隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形的三線合一、菱形的對(duì)角線以及經(jīng)計(jì)算得出的垂直關(guān)系等.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017江蘇,15,14分)如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.證明證明(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳BAD,EFAD,所以EFAB.又因?yàn)镋F 平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC,所以ADAC.2.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(cè)(一)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD為梯形,ADBC,CDBC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點(diǎn),N為PC上一點(diǎn),且PC=3PN.(1)求證:MN平面PAB;(2)求點(diǎn)M到平面PAN的距離.解析解析(1)證明:在平面PBC內(nèi)作NHBC交PB于點(diǎn)H,連接AH,在PBC中,NHBC,且NH=BC=1,M為AD的中點(diǎn),AM=AD=1.又ADBC,NHAM且NH=AM,四邊形AMNH為平行四邊形,MNAH,又AH平面PAB,MN 平面PAB,MN平面PAB.1312(2)連接AC,MC,PM,平面PAN即為平面PAC,設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為h.由題意可得CD=2,AC=2,SPAC=PAAC=4,SAMC=AMCD=,由VM-PAC=VP-AMC,23123122得SPACh=SAMCPA,即4h=4,h=,點(diǎn)M到平面PAN的距離為.1313326363考點(diǎn)三 空間幾何圖形的翻折問題平面圖形折疊問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,線段的長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時(shí),要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形.典型例題典型例題(2016課標(biāo)全國(guó),19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱錐D-ABCFE的體積.542解析解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.AEADCFCD(2)由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以O(shè)D平面ABC.又由=得EF=.五邊形ABCFE的面積S=68-3=.所以五棱錐D-ABCFE的體積V=2=.OHDOAEAD1422ABAO2EFACDHDO9212129269413694223 22方法歸納方法歸納立體幾何中的翻折問題通常有一定的難度,在解題時(shí),要注意翻折過程中哪些量發(fā)生了變化,哪些量沒有發(fā)生變化,在本題中,原菱形ABCD的性質(zhì)(即對(duì)角線互相垂直)要充分利用,還要通過計(jì)算,借助勾股定理的逆定理證明垂直,這就要求必須弄清翻折前后線段之間的關(guān)系,這也是破解此題的關(guān)鍵.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)如圖1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AD=CD=AB=2,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),將ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.(1)在CD上找一點(diǎn)F,使AD平面EFB;12(2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.1.解析(1)如圖,取CD的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在ACD中,E、F分別為AC,CD的中點(diǎn),EF為ACD的中位線,ADEF,EF平面EFB,AD 平面EFB,AD平面EFB.(2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h,平面ADC平面ABC,且BCAC(AC=2,BC=2,AB=4=),BC平面ADC,BCAD,又ADCD,CDBC=C,AD平面BCD,ADBD,又AD=CD=AB=2,BD=2,SABD=ADBD=2.三棱錐B-ACD的高BC=2,2222ACBC12224231232SACD=ADCD=2,又VC-ABD=VB-ADC,即2h=22,解得h=.即點(diǎn)C到平面ABD的距離為.121331322 632 63(2)求三棱錐P-MAC的體積. (2017陜西寶雞質(zhì)量檢測(cè)(一)如圖,在四棱錐A-PCBM中,四邊形PCBM是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2,且AC=1,ACB=120,ABPC,AM=2.(1)求證:平面PAC平面ABC;隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)解析解析(1)證明:由PCB=90得PCCB.又ABPC,ABBC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以PC平面ABC.又PC平面PAC,所以平面PAC平面ABC.(2)在平面PCBM內(nèi),過點(diǎn)M作MNBC于點(diǎn)N,連接AN,則CN=PM=1,又PMBC,所以四邊形PMNC為平行四邊形,所以PCMN且PC=MN,由(1)得PC平面ABC,所以MN平面ABC,在ACN中,AN2=AC2+CN2-2ACCNcos120=3,即AN=.又AM=2,所以在RtAMN中,MN=1,所以PC=MN=1.在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)A作AHBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,則AH平面PMC,因?yàn)锳C=CN=1,ACB=120,所以ANC=30.所以在RtAHN中,AH=AN=,31232而SPMC=11=,所以VP-MAC=VA-PMC=.1212131232312