一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用.doc

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一題多解與一題多變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用 數(shù)學(xué)，是一門自然學(xué)科。對于所有的高中生來說，要學(xué)好這門學(xué)科，卻不是一件容易的事。大多數(shù)高中生對數(shù)學(xué)的印象就是枯燥、乏味、沒有興趣。但由于高考“指揮棒”的作用，又不得不學(xué)?！霸鯓硬拍軐W(xué)好數(shù)學(xué)？”成了學(xué)子們問得最多的問題。而怎樣回答這個問題便成了教師們的難題。很多人便單純的認(rèn)為要學(xué)好數(shù)學(xué)就是要多做題，見的題多了，做的題多了，自然就熟練了，成績就提高了！于是，“題海戰(zhàn)術(shù)”便受到很多教育工作者的青睞。熟話說，“熟能生巧”，當(dāng)然，多做體肯定對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高有一定的好處。但長期這樣，只會使數(shù)學(xué)越來越枯燥，讓學(xué)生越來越厭煩，于是出現(xiàn)厭學(xué)、抄作業(yè)等現(xiàn)象。 眾所周知，數(shù)學(xué)題是做不完的。我認(rèn)為要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，還是要從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣上下工夫。要利用書本上有限的例題和習(xí)題來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過利用一切有用條件，進(jìn)行對比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)。這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑。另外，能力提高的過程中，學(xué)生的成就感自然增強(qiáng)，并且在不斷的變化和解決問題的不同途徑中，興趣油然而生。 對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，教學(xué)過程的重點(diǎn)不外乎為：講解定義推導(dǎo)公式，例題演練，練習(xí)，及習(xí)題的安排。下面就一題多解與一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用談?wù)勎覀€人的幾點(diǎn)看法。 一、在公式的推導(dǎo)中運(yùn)用一題多解 數(shù)學(xué)的公式在數(shù)學(xué)的解題中的作用是非常巨大的。并且，要學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須熟練的運(yùn)用公式。但很多學(xué)生對公式的記憶大多采取死記硬背的方法，對公式的推導(dǎo)往往不夠重視。其實(shí)，公式的推導(dǎo)過程就是一種解題的方法，或是一種解題技巧。我們?nèi)绻诠降耐茖?dǎo)過程中運(yùn)用一題多解的話，就會讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的產(chǎn)生過程中同時掌握解題的規(guī)律和方法，也便于公式的理解記憶。例如：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d時， 方法一： ………………… 由此得到 an=a1+(n-1)d 方法二： 有等差數(shù)列定義知： 所以有 …………… 累加得 從而得到 an=a1+(n-1)d 方法二就是我們常用的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法—累差法。這樣的話，學(xué)生對這個公式的產(chǎn)生過程印象就更深刻，對公式也就更難忘。另外，在記憶公式的同時，也學(xué)到了重要的數(shù)學(xué)方法和思路，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。這種實(shí)例在高中階段的新課教學(xué)中還有很多，就不一一列舉。 二、在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變 一題多變和一題多解的變式在教學(xué)之中，往往能起到一座橋的作用，在最近發(fā)展區(qū)之中能把學(xué)生從已知的彼岸渡到未知的彼岸。一題多解，一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問題的能力。一題多變，對一道數(shù)學(xué)題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結(jié)論，積極開展多種變式題的求解，哪怕是不能解決，有助于學(xué)生應(yīng)變能力的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生面對新問題敢于聯(lián)想分析予以解決的意識。在例題講解中運(yùn)用一題多解和一題多變，就不用列舉大量的例題讓學(xué)生感到無法接受。而是從一個題中獲得解題的規(guī)律，技巧，從而舉一反三。 下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明： 例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。 解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示例。 解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，則 x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－）2+ 由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知 當(dāng)x=時，x2+y2取最小值；當(dāng)x=0或1時，x2+y2取最大值1。 評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。 解法二：（三角換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè) x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0，] 則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ =1－（2sinθcosθ）2=1－sin22θ =1－=+ cos4θ 于是，當(dāng)cos4θ=－1時，x2+y2取最小值； 當(dāng)cos4θ=1時，x2+y2取最小值1。 評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。 解法三：（對稱換元思想）由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè) x=+t， y=－t，其中t∈[－，] 于是，x2+y2= （+t）2+（－t）2=+2t2 t2∈[0，] 所以，當(dāng)t2=0時，x2+y2取最小值；當(dāng)t2=時，x2+y2取最大值1。 評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。 這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同，教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。 解法四：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1 則 xy≤=，從而0≤xy≤ 于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy 所以，當(dāng)xy=0時，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy=時，x2+y2取最小值。 評注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時滿足。 y x O A B 1 1 C 解法四：（解析幾何思想）設(shè)d=，則d為動點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離，于是只需求線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。 當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時，dmax=1，則（x2+y2）max=1 當(dāng)OC⊥AB時dmin=，則（x2+y2）min= 評注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，使學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。事實(shí)上，有許多解析幾何最值問題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有著很積極的作用。 y x O A B 1 1 解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+y2=r2（r＞0），此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動圓，記為⊙F。 于是，問題轉(zhuǎn)化為⊙F與線段 有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。 當(dāng)⊙F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時rmax=1；當(dāng)⊙F與線段AB相切時rmin= 則 ≤x2+y2≤1 評注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。 至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對本題的變式和推廣。 變式1：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。 變式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？ 變式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得≤xn+yn≤1的結(jié)論嗎？ 這樣一個由特殊性逐步一般化的思維過程，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過這樣一系列的一題多解和一題多變，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力、提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，滲透了一些數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)思想，也提供了一個推向一般性的結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若將經(jīng)典例題充分挖掘，注重對例題進(jìn)行變式教學(xué),不但可以抓好基礎(chǔ)知識點(diǎn),還可以激發(fā)學(xué)生的探求欲望,提高創(chuàng)新能力；不僅能讓教師對例題的研究更加深入，對教學(xué)目標(biāo)和要求的把握更加準(zhǔn)確，同時也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到進(jìn)一步提高，并逐漸體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。當(dāng)然，在新課的教學(xué)中有些方法所用的知識，學(xué)生還未學(xué)到，此時，我們可從中挑選學(xué)生學(xué)過的知識。其他方法可在今后的總復(fù)習(xí)中給出。 三、在練習(xí)和習(xí)題中訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用一題多解和一題多變 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題。使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。很多學(xué)生根本無法完成，便出現(xiàn)了抄作業(yè)的現(xiàn)象。對數(shù)學(xué)的厭惡感便油然而生。還有老師從網(wǎng)上尋找各種各樣的所謂的新穎題布置給學(xué)生做。這樣也只會挫傷學(xué)生的自信心。我們?yōu)槭裁床荒軓臅系牧?xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過后，學(xué)生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。另外，我們在把變式題布置給學(xué)生的同時，便可要求學(xué)生運(yùn)用一題多解，甚至可以要求學(xué)生自己對題型進(jìn)行變式。這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 例如，在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題： 過拋物線y2=2px 焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過拋物線焦點(diǎn)的弦） 此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時我們便可以有針對性的演變。如變成 （1）證明：過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。 （2）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對稱軸。 （3）證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長的一半，并且被這條拋物線平分。 另外，我們還可以讓學(xué)生自己變式，便還可能出現(xiàn)如下變式： （4）證明：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直。 （5）證明：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡。 （6）證明：過拋物線焦點(diǎn)一端，作準(zhǔn)線的垂線，那么垂足、原點(diǎn)以及弦的另一端點(diǎn)，三點(diǎn)共線。 在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，一題多變也得循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得 到充分發(fā)散，而又不感到突然。 總之，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，選用一些非加探索不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系的習(xí)題，采用一題多解與 一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)，有助于啟發(fā)學(xué)生分析思考，逐步把學(xué)生引入勝境，從而使學(xué)生開拓知 識視野，增強(qiáng)能力，發(fā)展創(chuàng)造思維，同時還可以幫助學(xué)生對知識系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻 理解。