CH6《現(xiàn)代控制理論》講稿.doc

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第六章 最優(yōu)控制……..(侯媛彬) 要點(diǎn)： 1變分法與最優(yōu)控制的概念 2 最大值原理 3 線性最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì) 難點(diǎn)： 線性最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì) 6-1 變分法與最優(yōu)控制 一、基本概念 1．泛函 變量，如果對(duì)于某一類函數(shù)中的每一個(gè)函數(shù)，都有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱為依賴于函數(shù)的泛函，記為 或簡記為。根據(jù)函數(shù)定義，泛函可理解為“函數(shù)的函數(shù)”，即泛函的值是由函數(shù)的選取而定的。例如， 是一個(gè)泛函，因?yàn)榈闹凳怯珊瘮?shù)的選取而定的。其中函數(shù)稱為泛函的宗量。 2．泛函的變分 在泛函極值問題中，泛函的變分是解決問題的一種重要方法，下面討論泛函的變分及相關(guān)的概念。 （1）宗量的變分 泛函的宗量的變分，是指兩個(gè)函數(shù)間的差，記作 （2）泛函的連續(xù)性 若對(duì)于函數(shù)的微小變化，泛函的變換也很微小，那么就說泛函是連續(xù)的。 （3）宗量函數(shù)的相近度 當(dāng)函數(shù)與之差的絕對(duì)值，即 （6-1） 對(duì)于函數(shù)的定義域中的一切值均很小時(shí)，就說函數(shù) 與是相差微小或相近的。 當(dāng)兩個(gè)函數(shù)之差的絕對(duì)值和它們的導(dǎo)數(shù)之差的絕對(duì)值，即 和 （6-2） 同時(shí)很小時(shí)，就說函數(shù) 與是相差微小或相近的。 為了區(qū)別上面兩種情況，把滿足式（6-1）的兩個(gè)函數(shù)稱為具有零階相近度，滿足式（6-2）的兩個(gè)函數(shù)稱為具有一階相近度，具有一階相近度的函數(shù)必然具有零階相近度，反之，則不一定。根據(jù)一階相近度的概念，很容易推廣，即當(dāng) （6-3） 均很小時(shí)，稱函數(shù)具有K階相近度。 （4）空間距離 定義在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體是一個(gè)函數(shù)的空間，記為，其中對(duì)應(yīng)的每個(gè)函數(shù)都是這個(gè)空間的一點(diǎn)，定義中兩點(diǎn)的距離為 （6-4） 若定義上連續(xù)且具有連續(xù)K階導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)的全體是一個(gè)空間，記為，定義中兩點(diǎn)的距離為 (6-5) 顯然，由式（6-4）和式（6-5）定義的距離可用來定量刻劃兩個(gè)函數(shù)的零階和K階相近度。 如果對(duì)于任意給定的一個(gè)函數(shù)，可以找到這樣的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，就有 那么就說泛函在點(diǎn)處是連續(xù)的。當(dāng)按式（6-4）或（6-5）定義時(shí)，相應(yīng)稱為零階連續(xù)或K階連續(xù)。 （5）泛函的變分 如果連續(xù)泛函的增量表達(dá)式為 （6-6） 應(yīng)用泰勒公式將（6-6）在x點(diǎn)展開，得 （6-7） 當(dāng)很小時(shí)，式（6-7）右邊是關(guān)于的線性連續(xù)泛函，而其余均為的高階無窮小。若用線性連續(xù)泛函和高階無窮小之和表示泛函的增量，即有 （6-8） 那么，就把第一項(xiàng)稱為泛函的變分，記為 當(dāng)一泛函具有變分時(shí)，也稱泛函是可微的。 泛函的變分還可以寫成另一種形式，即 （6-9） （6）泛函的極值 若泛函在的鄰域內(nèi)，即 （6-10） 其增量 或 ，則稱泛函在點(diǎn)處有極大值或極小值。 當(dāng)距離定義為，泛函在點(diǎn)處達(dá)到極值，稱為弱極值。 具有強(qiáng)極值的泛函必有弱極值，反之不然。 （7）泛函極值存在的條件 泛函在點(diǎn)處達(dá)到極值的必要條件是泛函在點(diǎn)的變分為零，即 （6-11） 二、 歐拉方程 有了6-1的概念，可以進(jìn)一步討論如何確定函數(shù)，使泛函達(dá)到極值的問題。解決這一問題必須依賴一個(gè)重要的關(guān)系式，這一關(guān)系式稱歐拉方程。 在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，其性能指標(biāo)就是泛函J，因此用變分求解泛函極值的問題，也就是求解最優(yōu)控制的過程。由于控制的多樣性，其變分問題也各不相同，現(xiàn)分別討論。 1、 點(diǎn)固定的情況 設(shè)泛函為 （6-12） 且 （6-13） 式中，均為常數(shù)。設(shè)是滿足邊界條件式（6-13），使式（6-12）泛函J達(dá)到極值的最優(yōu)函數(shù)。設(shè)是鄰域內(nèi)的一個(gè)函數(shù)，它與滿足下列關(guān)系 （6-14） 式中，是一個(gè)數(shù)值很小的參數(shù)，是任一有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足條件 的函數(shù)。這樣端點(diǎn)固定的條件得到了保證，即 顯然，不管函數(shù)如何選，當(dāng)時(shí)，恒有 即獲得了最優(yōu)函數(shù)。 現(xiàn)將式（6-13）代入式（6-11），得 （6-15） 比較式（6-12）和（6-15）。當(dāng)式（6-12）在時(shí)達(dá)到極值，相當(dāng)于式（6-15）在時(shí)取極值。應(yīng)用式（6-11），要使取極值，必有 要使上式在任何時(shí)均成立，只有 （6-16） 所以，在用式（5-16），即可使取極值。 （注：設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故求導(dǎo)和積分可交換順序。） 對(duì)上式第二項(xiàng)進(jìn)行分步積分，及 則 根據(jù)拉格朗日定理：若連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意，在區(qū)間滿足 則在一定有，所以有 （6-17） 將方程展開，得 （6-18） 式（6-17）或（6-18）常常稱為歐拉方程。因此，函數(shù)滿足歐拉方程使式（6-12）即泛函取極值的必要條件。 三、含有多個(gè)未知函數(shù)的泛函 為討論多未知函數(shù)變分問題簡單化，常采用向量表達(dá)式，此時(shí)泛函可記為 （6-19） 其中，是的數(shù)量函數(shù)，是維向量函數(shù)。 采用和數(shù)量函數(shù)情況相同的推論方法，可得向量形式的歐拉方程， （6-20） 上式中數(shù)量函數(shù)對(duì)向量函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，定義為 （6-21） 設(shè)端點(diǎn)A是固定得，端點(diǎn)B可沿曲線 變動(dòng)，此時(shí)B點(diǎn)得橫截條件為 （6-22） 四、條件極值的變分 在控制理論中常遇到目標(biāo)函數(shù)J依賴的函數(shù)需要滿足一定約束條件的情況，在這種情況下使J達(dá)到極值得變分問題，類似函數(shù)條件極值問題。解決這類變分通常采用所謂的拉哥郎日乘子法，即構(gòu)造一個(gè)常有乘子的輔助函數(shù) （6-23） 式中是乘子，它通常是時(shí)間的函數(shù)；是泛函變量需滿足的第個(gè)約束方程。則泛函為 （6-24） 這樣就得到了一個(gè)無條件限制的泛函。下面分兩種約束形式進(jìn)行討論。 1.幾何約束 現(xiàn)有泛函 求它在幾何約束條件 下的極值。 設(shè)，應(yīng)用乘子構(gòu)造函數(shù)為 （6-25） 簡記 （6-26） 則式（6-25）可寫成 然后，求泛函的無條件極值，寫出歐拉方程 （6-27） 將約束方程和歐拉方程聯(lián)立求解，即可求得和3個(gè)未知函數(shù)。利用端點(diǎn)邊界條件可確定歐拉方程中積分后4個(gè)任意常數(shù)。 2.運(yùn)動(dòng)約束 當(dāng)約束方程中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)，我們稱此時(shí)得約束條件為運(yùn)動(dòng)約束，其一般表達(dá)式為 在這種約束條件下求泛函極值的方法，與求幾何約束泛函極值的方法完全一致。 6-2 最大值原理 最大值原理是又一種求解最優(yōu)控制問題的方法。它是龐特里雅金等人提出的。這種方法是古典變分學(xué)的延伸，但能成功古典變分法不易解決的問題。 定理： 設(shè)是一個(gè)容許控制，是相應(yīng)于的軌線，是相應(yīng)于和得共態(tài)變量，則和為最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線的必要條件是： 對(duì)于在區(qū)間上得每一個(gè)值，作用的函數(shù)必在點(diǎn)處達(dá)最大值。此定理就是“最大值原理”。 [例6-1] 有如下二階系統(tǒng) 且，試求出最優(yōu)控制使系統(tǒng)在終態(tài)自由的情況下使泛函取極值。 解： 先構(gòu)造H函數(shù) 據(jù)一般形式最優(yōu)控制問題中的泛函形式可知，本例中 根據(jù)哈密頓正則方程，得 又根據(jù)的終點(diǎn)條件，即 有 下面解方程組 對(duì)上式兩邊積分有 代入終點(diǎn)條件,得 即 將式代入，有 解方程 則 通解為 代入終點(diǎn)條件，，有 現(xiàn)利用最大值原理，為了使變量的函數(shù)H在的約束條件下達(dá)到最大值，即達(dá)最大值， 只有取 又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)，由式可見，所以應(yīng)取 在時(shí)，沒有定義。 故將和初始條件代入系統(tǒng)方程，可得最優(yōu)軌線方程為 由此可求出J得極小值 *應(yīng)當(dāng)注意得一點(diǎn)是，最大值原理僅是泛函取最小值得必要條件，并不充分，所以求得的解是否為極小值還要進(jìn)行驗(yàn)證。易證明，本例中確使達(dá)到了極小值。 6-3 線性最優(yōu)控制系統(tǒng) 一、 二次型性能指標(biāo)得最優(yōu)控制問題 當(dāng)性能指標(biāo)泛函具有形為 （6-28） 的時(shí)候稱為二次型性能指標(biāo)。其中和是半正定對(duì)稱矩陣，是正定對(duì)稱矩陣。上式中第一項(xiàng)中系數(shù)是為了簡化計(jì)算。 下面是關(guān)于有限時(shí)間的調(diào)節(jié)器的問題。 設(shè)n階系統(tǒng) （6-29） 現(xiàn)在需要確定使性能指標(biāo) （6-30） 取極小值得最優(yōu)控制 其中是固定的，終態(tài)沒有約束。 （6-31） 求解里卡拉方程，并代入，得 （6-32） 上式為能夠成狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)控制表達(dá)式。 現(xiàn)在把二次型性能指標(biāo)的調(diào)節(jié)器問題求解過程寫成如下定理 定理： 若給定線性系統(tǒng) 其中控制u沒有約束，和是連續(xù)的，且性能指標(biāo)泛函為 （6-33） 其中是連續(xù)、半正定、對(duì)稱矩陣，是連續(xù)、正定、對(duì)稱矩陣，則使泛函J取最小值的最優(yōu)控制為 （6-34） 而最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)為 （6-35） 其中，矩陣是矩陣?yán)锟ɡ匠? 滿足終點(diǎn)條件的解。 兩點(diǎn)說明： ① 若把（6-33）式右邊的舍去，則只相應(yīng)地把（6-35）右邊的舍去即可； ② 若泛函J取更一般的形式 （6-36） 那么除了把里卡拉方程的終點(diǎn)條件相應(yīng)改變外，其余結(jié)論沒有改變。 現(xiàn)在舉例說明定理的應(yīng)用。 [例6-2] 已知系統(tǒng) 和性能指標(biāo)函數(shù) 求最優(yōu)控制和最優(yōu)性能指標(biāo)。 解： 由題意知， 則里卡拉方程為 用分離變量法求解方程 分母配方后，兩邊積分得， 其中積分常數(shù)決定于終點(diǎn)條件 若設(shè)，則可解出 最優(yōu)控制為 最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù) 最優(yōu)軌線為