中考數(shù)學壓軸題 二次函數(shù)動點問題(一).doc
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2012中考數(shù)學壓軸題選講（一） 1.如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點. （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經(jīng)過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。 （注：拋物線的對稱軸為） 解：設拋物線的解析式為， 依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為 （2）連接DQ，在Rt△AOB中， 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 – 5 = 2 因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因為AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA?！螩DQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ， 所以t的值是 （3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小 理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點關于直線對稱連接AQ交直線于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，） 設直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立 由此得 所以M則：在對稱軸上存在點M，使MQ+MC的值最小。 2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0）， OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求這個二次函數(shù)的表達式． （2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由． （3）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積. （1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 將A、B、C三點的坐標代入得 解得： 所以這個二次函數(shù)的表達式為： （2）存在，F(xiàn)點的坐標為（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為： ∴E點的坐標為（－3，0），由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，∴存在點F，坐標為（2，－3） （3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，－3），直線AG為． 設P（x，），則Q（x，－x－1），PQ． 當時，△APG的面積最大，此時P點的坐標為，． 3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。 ⑴求拋物線的解析式； ⑵設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由; ⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。 解析：⑴∵拋物線與y軸交于點C（0，3），∴設拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得 ∴拋物線的解析式為 ⑵存在. 由得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x＝1. ①若以CD為底邊，則PD＝PC，設P點坐標為(x,y)，根據(jù)勾股定理， 得，即y＝4－x. 又P點(x,y)在拋物線上，∴，即 解得，，應舍去.∴. ∴，即點P坐標為. ②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x＝1對稱，此時點P坐標為（2，3）。 ∴符合條件的點P坐標為或（2，3）. ⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理, 得CB＝,CD＝,BD＝,，∴,∴∠BCD＝90, 設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45, 由拋物線對稱性可知，∠CDM＝245＝90,點坐標M為（2，3）， ∴DM∥BC, ∴四邊形BCDM為直角梯形, 由∠BCD＝90及題意可知， 以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況; 以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。 綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。 4.已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB
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