（江蘇版）2020年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題沖刺6 圖形折疊問題

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1、熱點(diǎn)專題6 圖形折疊問題 圖形折疊問題，是一個(gè)非常好的題型，歷年來深受中考數(shù)學(xué)出題者的青睞．近年來很多城市的中考都在積極探索有關(guān)圖形折疊題目的思考與研究．在所有折疊圖形的題目中，最受歡迎的還是矩形的折疊，因?yàn)檫@種圖形的性質(zhì)特別好，便于折疊，折疊時(shí)也產(chǎn)生了很多很好的性質(zhì)，所以也便于出題人尋找出題的點(diǎn)．因此矩形折疊的題目最多，考的也最多．還有對正方形的折疊、菱形、平行四邊形、三角形等，甚至現(xiàn)在連圓形也開始折疊．產(chǎn)生了很多不錯(cuò)的題目． 圖形折疊問題只所以這么受追捧，是因?yàn)檫@些圖形在折疊過程中，會產(chǎn)生很不錯(cuò)的性質(zhì)，值得研究，出題人利用研究這些性質(zhì)也可以進(jìn)而考查學(xué)生的一些對知識的掌握程度，動手能

2、力，采用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析和解決問題的能力．鑒于此，我們有理由相信今后的中考數(shù)學(xué)試卷中還會產(chǎn)生很多有關(guān)圖形折疊的問題． 中考 要求 掌握軸對稱圖形的性質(zhì)． 學(xué)會在運(yùn)動變化中尋求不變的圖形性質(zhì)． 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析和解決問題． 考向1 矩形的折疊 1. (2019 江蘇省連云港市)如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB．將矩形ABCD對折，得到折痕MN；沿著CM折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為E，ME與BC的交點(diǎn)為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時(shí)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G．下列結(jié)論： ①△CMP是直角三角形； ②點(diǎn)C、E、G不在同一條直線上；

3、 ③PC＝MP； ④BP＝AB； ⑤點(diǎn)F是△CMP外接圓的圓心，其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【解析】 ∵沿著CM折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為E， ∴∠DMC＝∠EMC， ∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP， ∴∠AMP＝∠EMP， ∵∠AMD＝180°， ∴∠PME+∠CME＝180°＝90°， ∴△CMP是直角三角形；故①正確； ∵沿著CM折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為E， ∴∠D＝∠MEC＝90°， ∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP， ∴∠MEG＝∠A＝90°， ∴∠GEC＝180°， ∴點(diǎn)C、

4、E、G在同一條直線上，故②錯(cuò)誤； ∵AD＝2AB， ∴設(shè)AB＝x，則AD＝2x， ∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN； ∴DM＝AD＝x， ∴CM＝＝x， ∵∠PMC＝90°，MN⊥PC， ∴CM2＝CN?CP， ∴CP＝＝x， ∴PN＝CP﹣CN＝x， ∴PM＝＝x， ∴＝＝， ∴PC＝MP，故③錯(cuò)誤； ∵PC＝x， ∴PB＝2x﹣x＝x， ∴＝， ∴PB＝AB，故④， ∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD， ∴CE＝EG， ∵∠CEM＝∠G＝90°， ∴FE∥PG， ∴CF＝PF， ∵∠PMC＝90°， ∴CF＝PF＝MF， ∴點(diǎn)F是△CMP

5、外接圓的圓心，故⑤正確； 故選：B． 2. (2019 江蘇省淮安市)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP＝　 ?。? 【解析】 如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，BH＝PH， 又∵H為AB的中點(diǎn)，∴AH＝BH， ∴AH＝PH＝BH， ∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠HEB＝90°， ∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE， 又∵Rt△BCH中

6、，tan∠BHC＝＝， ∴tan∠HAP＝， 故答案為：． 3. (2019 江蘇省揚(yáng)州市)將一個(gè)矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若∠ABC＝26°，則∠ACD＝　 　°． 【解析】延長DC， 由題意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°， 則∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案為：128． 4．(2019 江蘇省鹽城市)如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進(jìn)行操作： （Ⅰ）將矩形紙片沿DF折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上點(diǎn)E處，如圖②； （Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)C再次折疊，使得點(diǎn)B落在邊CD上點(diǎn)B′處，如圖③，兩次折痕交于點(diǎn)O； （Ⅲ）展開紙片，

7、分別連接OB、OE、OC、FD，如圖④． 探究 （1）證明：△OBC≌△OED； （2）若AB＝8，設(shè)BC為x，OB2為y，求y關(guān)于x的關(guān)系式． 【解析】（1）證明：由折疊可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45° ∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED中，， ∴△OBC≌△OED（SAS）； （2）過點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H． 由（1）△OBC≌△OED， OE＝OB， ∵BC＝x，則AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x， ∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CH＝CD＝AB＝＝4， OH＝CD＝4， ∴EH＝

8、CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2＝OH2+EH2， 即OB2＝42+（x﹣4）2， ∴y關(guān)于x的關(guān)系式：y＝x2﹣8x+32． 考向2 平行四邊形的折疊 1. (2019 江蘇省常州市)如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′與AD相交于點(diǎn)E． （1）連接AC′，則AC′與BD的位置關(guān)系是　 　； （2）EB與ED相等嗎？證明你的結(jié)論． 【解析】 （1）連接AC′，則AC′與BD的位置關(guān)系是AC′∥BD， 故答案為：AC′∥BD； （2）EB與ED相等． 由折疊可得，∠CBD＝∠C'BD，

9、 ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 2. (2019 江蘇省徐州市)如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．求證： （1）； （2）． 【解析】證明：（1）四邊形是平行四邊形， ， 由折疊可得，， ， ， ； （2）四邊形是平行四邊形， ，， 由折疊可得，，， ，， 又， ． 考向3 正方形的折疊 1．(2019 江蘇省連云港市)問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N．

10、判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上． （1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)； （2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時(shí)，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處，若正方形ABCD的邊長為4，AD的中點(diǎn)為S，求P'S的最小值． 問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)A，C'N交AD于點(diǎn)F．分別過點(diǎn)A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足

11、分別為G、H．若AG＝，請直接寫出FH的長． 【解析】線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系為：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 過點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F，如圖1所示： ∴四邊形MBFN為平行四邊形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN

12、+MB＝EC； 問題探究： 解：（1）連接AQ，過點(diǎn)Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)H、I，如圖2所示： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形ABIH為矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的對角線， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵M(jìn)N是AE的垂直平分線， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中，， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠

13、AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖3所示： 則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動， 設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長線于點(diǎn)H，連接PC， ∵點(diǎn)P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴

14、∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性質(zhì)得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的對角線， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴點(diǎn)P'在線段

15、DO'上運(yùn)動； 過點(diǎn)S作SK⊥DO'，垂足為K， ∵點(diǎn)S為AD的中點(diǎn)， ∴DS＝2，則P'S的最小值為； 問題拓展： 解：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，如圖4： 則EG＝AG＝，PH＝FH， ∴AE＝5， 在Rt△ABE中，BE＝＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴＝＝3， ∴QE＝AE＝， ∴AQ＝AE+QE＝， ∵AG⊥MN， ∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴＝，即＝， 解得：AM＝， 由折疊的性質(zhì)

16、得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝＝，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°， ∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴＝＝， 解得：AF＝， ∴DF＝4﹣＝， ∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴＝，即＝， 解得：FP＝， ∴FH＝FP＝． 考向4 三角形的折疊 (2019 江蘇省揚(yáng)州市)如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線1是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線1折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′． （1）

17、如圖1，當(dāng)PB＝4時(shí)，若點(diǎn)B′恰好在AC邊上，則AB′的長度為　 ?。? （2）如圖2，當(dāng)PB＝5時(shí)，若直線1∥AC，則BB′的長度為　 ??； （3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動過程中，若直線1始終垂直于AC，△ACB′的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積； （4）當(dāng)PB＝6時(shí)，在直線1變化過程中，求△ACB′面積的最大值． 【解析】（1）如圖1中， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4， ∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°， ∴△APB′是等邊三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案為4． （

18、2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O． ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等邊三角形， ∵PB＝5， ∴∵B，B′關(guān)于PE對稱， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB?sin60°＝， ∴BB′＝5． 故答案為5． （3）如圖3中，結(jié)論：面積不變． ∵B，B′關(guān)于直線l對稱， ∴BB′⊥直線l， ∵直線l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝?82＝16． （4）如圖4中，當(dāng)B′P⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大， 設(shè)直線PB′交AC于E， 在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA?sin60°＝， ∴B′E＝6+， ∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．