浙江省2019年中考數(shù)學 第四單元 三角形 課時訓練22 銳角三角函數(shù)及其應用練習 （新版）浙教版

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1、 課時訓練(二十二)　銳角三角函數(shù)及其應用　 |夯實基礎| 1.[2018·云南] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,則∠A的正切值為 (　　) 圖K22-1 A.3 B. C. D. 2.[2017·宜昌] △ABC在網(wǎng)格中的位置如圖K22-1所示(每個小正方形邊長為1),AD⊥BC于D,下列選項中,錯誤的是 (　　) A.sin α=cos α B.tan C=2 C.sin β=cos β D.tan α=1 3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,tan A=1,sin B=,你認為對△ABC

2、最確切的判斷是 (　　) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.銳角三角形 4.[2018·日照] 如圖K22-2,邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中,半徑為1的☉O的圓心O在格點上,則∠BED的正切值等于 (　　) 圖K22-2 A. B. C.2 D. 5.[2018·重慶B卷] 如圖K22-3,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同學從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=1∶0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)).在

3、E處測得建筑物頂端A的仰角為24°,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45) (　　) 圖K22-3 A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米 6.把sin 60°,cos 60°,tan 60°按從小到大的順序排列,用“<”連結起來:　　　　　　　　.? 7.[2018·黃石] 如圖K22-4,無人機在空中C處測得地面A,B兩點的俯角分別為60°,45°,如果無人機距地面高度CD為100米,點A,D,B在同一水平直線上,則A,B兩點間的距離是　　　　米.(結果保留根號)?

4、 圖K22-4 8.[2018·濰坊] 如圖K22-5,一艘漁船正以60海里/時的速度向正東方向航行,在A處測得島礁P在東北方向上,繼續(xù)航行1.5小時后到達B處,此時測得島礁P在北偏東30°方向,同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60°方向.為了在臺風到來之前用最短時間到達M處,漁船立刻加速以75海里/時的速度繼續(xù)航行　　　　小時即可到達.(結果保留根號)? 圖K22-5 9.[2017·舟山] 如圖K22-6,把n個邊長為1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,tan∠BA4C=　　　　,…,按此規(guī)律,tan∠BAnC=　　　

5、　(用含n的代數(shù)式表示).? 圖K22-6 10.[2017·麗水] 圖K22-7是某小區(qū)的一個健身器材平面圖,已知BC=0.15 m,AB=2.7 m,∠BOD=70°,求端點A到地面CD的距離(精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75) 圖K22-7 11.[2018·臺州] 如圖K22-8是一輛吊車的工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動點A離地面BD的高度AH為3.4 m.當起重臂AC長度為9 m,張角∠HAC為118°時,求操作平臺C離地面的高度(結果保留小數(shù)點后一位;參考數(shù)據(jù):s

6、in 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53). 圖K22-8 12.[2018·內(nèi)江] 如圖K22-9是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖,燈柱AC的高為11米,燈桿AB與燈柱AC的夾角∠A=120°,路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE長為18米,從D,E兩處測得路燈B的仰角分別為α和β,且tan α=6,tan β=.求燈桿AB的長度. 圖K22-9 |拓展提升| 13.如圖K22-10,已知AD∥BC,AB⊥AD,點E,F分別在射線AD,BC上,若點E與點B關于

7、AC對稱,點E與點F關于BD對稱,AC與BD相交于點G,則 (　　) A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB= 圖K22-10 14.如圖K22-11,在每一個四邊形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12. (1)如圖①,點M是四邊形ABCD的邊AD上一點,求△BMC的面積. (2)如圖②,點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點,請你求出△BNC周長的最小值. (3)如圖③,在四邊形ABCD的邊AD上,是

8、否存在一點P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此時cos∠BPC的值;若不存在,請說明理由. 圖K22-11 參考答案 1.A　[解析] 根據(jù)正切的定義得tan A==3. 2.C　[解析] 先構建直角三角形,再根據(jù)三角函數(shù)的定義計算,sin α=cos α==,tan C==2,sin β=cos(90°-β),tan α=1,故選C. 3.B 4.D　[解析] 在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∴tan∠BAC==. ∵∠BED=∠BAD,∴tan∠BED=.故選D. 5.A　[解析] 過點C作CN⊥DE于點N,延長AB交ED于點M,則B

9、M⊥DE于點M,則MN=BC=20米.∵斜坡CD的坡比i=1∶0.75,∴令CN=x米,則DN=0.75x米.在Rt△CDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=102,解得x=8,從而CN=8米,DN=6米.∵DE=40米,∴ME=MN+ND+DE=66(米),AM=(AB+8)米.在Rt△AME中,tanE=,即=tan24°,從而0.45=,解得AB=21.7(米),故選A. 6.cos 60°

10、=100(1+)米. 8.　[解析] 過點P作PQ⊥AB,垂足為Q,過點M作MN⊥AB,垂足為N. AB=60×1.5=90(海里). 設PQ=MN=x,由點P在點A的東北方向可知,∠PAQ=45°, ∴AQ=PQ=x,BQ=x-90. 在Rt△PBQ中,∠PBQ=90°-30°=60°,tan 60°==,解得x=135+45. 在Rt△BMN中,∠MBN=90°-60°=30°, ∴BM=2MN=2x=2×(135+45)=270+90. ∴航行時間為=(小時). 9.　　[解析] 根據(jù)所給的三角函數(shù)值進行分析可以得到如下規(guī)律:tan∠BA1C==,tan∠BA2C=

11、=,tan∠BA3C==,tan∠BA4C==,….按此規(guī)律tan∠BAnC==. 10.[解析] 過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥AE于點F,構造Rt△ABF,運用解直角三角形的知識求出AF,進而求出AE,得出結果. 解:過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥AE于點F, ∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°. 在Rt△ABF中,AB=2.7, ∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918, ∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1. 答:端點A到地面CD的距離約是1.1 m. 11.解:如圖所示,過點C作CF⊥

12、BD,垂足為F,過點A作AE⊥CF,垂足為E, ∵AE⊥CF,∴∠AEC=90°, 在Rt△AEC中,sin∠CAE=,可得CE=AC·sin∠CAE≈9×0.47=4.23. ∵∠AHF=∠EFH=∠AEF=90°,∴四邊形AHFE是矩形, ∴EF=AH=3.4,∴CF=CE+EF=3.4+4.23=7.63≈7.6(米). 答:操作平臺C離地面的高度為7.6米. 12.解:如圖,過點B作BH⊥DE,垂足為點H,過點A作AG⊥BH,垂足為點G. ∵BH⊥DE, ∴∠BHD=∠BHE=90°. 在Rt△BHD中, tan α==6, 在Rt△BHE中,tan β=

13、=, ∴BH=6DH,BH=EH, ∴8DH=EH. ∵DE=18,DE=DH+EH, ∴9DH=18,∴DH=2,BH=12. ∵∠BHD=∠AGH=∠ACH=90°, ∴四邊形ACHG為矩形, ∴AC=GH=11,∠CAG=90°,BG=BH-GH=12-11=1, ∵∠BAC=120°, ∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°. ∴在Rt△AGB中,AB=2BG=2. 答:燈桿AB的長度為2米. 13.A　[解析] 如圖,連結CE,設EF與BD相交于點O. 由對稱性,得AB=AE.設AB=1,則BE==. ∵點E與點F關于BD對稱, ∴

14、BE=BF,∠EBD=∠FBD, 又∵∠EDB=∠DBF,∴∠EBD=∠EDB, ∴DE=BE=, ∴AD=1+.∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE, ∴四邊形ABCE是正方形, ∴BC=AB=1,1+tan∠ADB=1+=1+-1=,故A正確. ∵CF=BF-BC=-1,2BC=2×1=2,5CF=5(-1), ∴2BC≠5CF,故B錯誤. ∠AEB+22°=45°+22°=67°, 在Rt△ABD中,BD===, sin∠DEF===. 用計算器計算可得 ∠DEF=67.5°,故C錯誤. 由勾股定理得OE2=()2-2=, ∴OE=. ∵∠EBG+∠AGB=9

15、0°, ∠EBG+∠BEF=90°, ∴∠AGB=∠BEF. 又∵∠BEF=∠DEF, ∴4cos∠AGB=4×=4×=2,故D錯誤. 14.解:(1)過點A作AE⊥BC,垂足為E. 在Rt△ABE中,∠ABC=60°,BE=12-8=4, ∴AE=4, ∴S△BMC=BC·AE=×12×4=24. (2)作點C關于AD對稱的點C',連結BC'交AD于點N,點N為滿足條件的點. 易知CN=C'N.在Rt△CBC'中,BC=12,CC'=8, ∴BC'==4, ∴△BCN周長的最小值為12+4. (3)存在點P,使得cos∠BPC的值最小. 如圖,作BC的垂直平分線PQ交BC于點Q,交AD于點P,連結BP,CP,作△BPC的外接圓☉O,☉O與直線PQ交于點N,又PB=PC,∴圓心O在PN上. ∵AD∥BC, ∴AD為☉O的切線,切點為P. ∵PQ=DC=4>6, ∴圓心O在弦BC的上方. 在AD上任取一點P',連結P'C,P'B,P'B交☉O于點M,連結MC, ∴∠BPC=∠BMC≥∠BP'C, ∴∠BPC最大,此時cos∠BPC的值最小. 連結BO,在Rt△BOQ中,易知BO=4-OQ,BQ=6, ∴OQ=,∴OB=, ∴cos∠BPC=cos∠BOQ=. 故cos∠BPC的最小值是. 12