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小專題(三) 平行四邊形的證明思路
類型1 若已知條件出現(xiàn)在四邊形的邊上，則考慮：
①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
?、垡唤M對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
1．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且EC∥BD.求證：四邊形BECD是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即BE∥DC.
又∵EC∥BD，
∴四邊形BECD是平行四邊形．
2．如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，并且AE＝DF.求證：
(1)BE＝
2、CF；
(2)四邊形BECF是平行四邊形．
證明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.
在△AEB和△DFC中，
∴△AEB≌△DFC(ASA)．
∴BE＝CF.
(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF.
又∵BE＝CF，
∴四邊形BECF是平行四邊形．
3．如圖，在?ABCD中，分別以AD，BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△A
3、DE和△BCF都是等邊三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
4．(2016·欽州)如圖，DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接BF.求證：
(1)BF＝DC；
(2)四邊形ABFD是平行四邊形．
證明：(1)∵DE是△ABC的中位線，
∴CE＝BE.
在△DEC和△F
4、EB中，
∴△DEC≌△FEB(SAS)．
∴BF＝DC.
(2)∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，且DE＝AB.
又∵EF＝DE，
∴DE＝DF.
∴DF＝AB.
又∵DF∥AB，
∴四邊形ABFD是平行四邊形．
5．如圖，已知D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，將FD延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使FG＝2DF，連接AG，則ED與AG互相平分嗎？ 請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：ED與AG互相平分．
理由：連接EG，AD.
∵DE∥AF，DE＝AF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形．
∴AE∥DF，AE＝DF.
又∵FG＝2DF，
5、∴DG＝DF.
∴AE＝DG.
又∵AE∥DG，
∴四邊形AEGD是平行四邊形．
∴ED與AG互相平分.
類型2 若已知條件出現(xiàn)在四邊形的角上，則考慮
利用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”
6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
類型3 若已知條件出現(xiàn)在對(duì)角線上，則考慮利用
“對(duì)角線互相平分的四邊形是平
6、行四邊形”
7．如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，分別與AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AECF是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
8．如圖，?ABCD 中，點(diǎn)O 是對(duì)角線AC 的中點(diǎn)，EF 過(guò)點(diǎn)O，與AD，BC 分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH 過(guò)點(diǎn)O，與AB，CD 分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.求證：四邊形EGFH 是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD 為平行四邊形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可證得OG＝OH.
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
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