（江蘇專版）2018版高考數學二輪復習 專題一 三角函數與平面向量 第1講 三角函數的圖象與性質試題 理

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1、 第1講　三角函數的圖象與性質 高考定位　高考對本內容的考查主要有：三角函數的有關知識大部分是B級要求，只有函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質是A級要求；試題類型可能是填空題，同時在解答題中也有考查，經常與向量綜合考查，構成低檔題. 真 題 感 悟 1.(2013·江蘇卷)函數y＝3sin的最小正周期為________. 解析　利用函數y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式求解.函數y＝3sin的最小正周期為T＝＝π. 答案　π 2.(2011·江蘇卷)函數f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則f (0)＝_______

2、_. 解析　因為由圖象可知振幅A＝，＝－＝， 所以周期T＝π＝，解得ω＝2，將代入f (x)＝sin(2x＋φ)，解得一個符合的φ＝，從而y＝sin，∴f (0)＝. 答案　 3.(2014·江蘇卷)已知函數y＝cos x與y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它們的圖象有一個橫坐標為的交點，則φ的值是________. 解析　根據題意，將x＝代入可得cos＝sin，即sin＝，∴＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z). 又∵φ∈[0，π)，∴φ＝. 答案　 4.(2017·全國Ⅱ卷)函數f (x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________. 解析　f (

3、x)＝sin2x＋cos x－， f (x)＝1－cos2x＋cos x－，令cos x＝t且t∈[0，1]， y＝－t2＋t＋＝－＋1，則當t＝時，f (x)取最大值1. 答案　1 考 點 整 合 1.常用三種函數的圖象與性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調性 在(k∈Z)上單調遞增； 在 (k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減 在(k∈Z)上單調遞增 對稱性 對稱中心： (kπ，0)(k∈Z)； 對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對

4、稱中心： (k∈Z)； 對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心： (k∈Z) 2.三角函數的常用結論 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數； 當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數. 3.三角函數的兩種常見變換 (1)y＝sin x y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝As

5、in(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0). (2)y＝sin x y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0). 熱點一　三角函數的圖象 【例1】 (1)(2017·南京、鹽城模擬)將函數y＝3sin的圖象向右平移φ個單位長度后，所得函數為偶函數，則φ＝________. (2)(2016·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)函數f (x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ為常數，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則f 的值為________. 解析　(1)將函數y＝3sin的圖象向右平移φ個單位長度后，得到y(tǒng)＝3sin的圖象.由所得函

6、數是偶函數，得－2φ＝＋kπ，k∈Z，則φ＝－－，k∈Z.由0<φ<得k＝－1，φ＝. (2)根據圖象可知，A＝2，＝－， 所以周期T＝π，ω＝＝2. 又函數過點，所以有sin＝1，而0＜φ＜π， 所以φ＝，則f (x)＝2sin， 因此f ＝2sin＝1. 答案　(1)　(2)1 探究提高　(1)對于三角函數圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換其自變量x，如果x的系數不是1，則需把x的系數提取后再確定平移的單位和方向. (2)已知圖象求函數y＝Asin(A＞0，ω＞0)的解析式時，常用的方法是待定系數法.由圖中的最高點、最低點或特殊點求A

7、；由函數的周期確定ω；確定φ常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置. 【訓練1】 (2017·連、徐、宿模擬)若函數f (x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過點(0，)，則函數f (x)在[0，π]上的單調遞減區(qū)間是________. 解析　由題意可得f (0)＝2sin φ＝，即sin φ＝，又0<φ<，則φ＝，所以f (x)＝2sin，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，當k＝0時，得函數f (x)在[0，π]上的單調遞減區(qū)間是. 答案　 熱點二　三角函數的性質 [命題角度1]　三角函數的

8、性質及其應用 【例2－1】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0，在函數y＝2sin ωx與y＝2cos ωx 的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則ω＝________. (2)設函數f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A>0，ω>0).若f (x)在區(qū)間上具有單調性，且f ＝f ＝－f ，則f (x)的最小正周期為________. (3)(2017·全國Ⅲ卷改編)設函數f (x)＝cos，給出下列結論： ①f (x)的一個周期為－2π；②y＝f (x)的圖象關于直線x＝對稱；③f (x＋π)的一個零點為x＝；④f (x)在上單調遞減，其中錯誤的是____

9、____(填序號). 解析　(1)由得sin ωx＝cos ωx， ∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z). ∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z). 設距離最短的兩個交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝， 則|x2－x1|＝＝. 又結合圖形知|y2－y1|＝＝2， 且(x1，y1)與(x2，y2)間的距離為2， ∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2， ∴＋(2)2＝12，∴ω＝. (2)由f (x)在上具有單調性，得≥－， 即T≥；因為f ＝f ，所以f (x)的一條對稱軸為x＝＝；又因為f ＝－f ，所以f (x)的一個對稱中心的橫坐

10、標為＝.所以T＝－＝，即T＝π. (3)函數f (x)＝cos的圖象可由y＝cos x的圖象向左平移個單位得到，如圖可知，f (x)在上先遞減后遞增，第④個結論錯誤. 答案　(1)　(2)π　(3)④ 探究提高　此類題屬于三角函數性質的逆用，解題的關鍵是借助于三角函數的圖象與性質列出含參數的不等式，再根據參數范圍求解.或者，也可以取選項中的特殊值驗證. [命題角度2]　三角函數圖象與性質的綜合應用 【例2－2】 (2017·山東卷)設函數f (x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f ＝0. (1)求ω； (2)將函數y＝f (x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱

11、坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值. 解　(1)因為f (x)＝sin＋sin， 所以f (x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx ＝ ＝sin. 由題設知f ＝0， 所以－＝kπ，k∈Z， 故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈，所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 探究提高　求三角函數最值的兩條思路：(1)將問題化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，

12、結合三角函數的性質或圖象求解；(2)將問題化為關于sin x或cos x的二次函數的形式，借助二次函數的性質或圖象求解. 【訓練2】 已知函數f (x)＝cos＋sin2x－cos2x. (1)求函數f (x)的最小正周期及其圖象的對稱軸方程； (2)設函數g(x)＝[f (x)]2＋f (x)，求g(x)的值域. 解　(1)f (x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x ＝sin. 則f (x)的最小正周期為π， 由2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 所以函數圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z). (2)g(x)＝[f (x)]2＋f (x) ＝sin

13、2＋sin ＝－. 當sin＝－時，g(x)取得最小值－， 當sin＝1時，g(x)取得最大值2， 所以g(x)的值域為 1.已知函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的圖象求解析式 (1)A＝，B＝. (2)由函數的周期T求ω，ω＝. (3)利用“五點法”中相對應的特殊點求φ. 2.運用整體換元法求解單調區(qū)間與對稱性 類比y＝sin x的性質，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整體代入求解. (1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得對稱軸方程； (2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標

14、； (3)將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間，注意ω的符號. 3.函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性質及應用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函數)的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、填空題 1.(2016·山東卷改編)函數f (x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是________. 解析　∵f

15、(x)＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π. 答案　π 2.(2015·浙江卷)函數f (x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，單調遞減區(qū)間是________. 解析　f (x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴單調遞減區(qū)間是，k∈Z. 答案　π　(k∈Z) 3.(2016·北京卷改編)將函數y＝sin圖象上的點P向左平移s(s＞0)個單位長度得到點P′.若P′位于函數y＝sin 2x的圖象上，

16、則t＝________，s的最小值為________. 解析　點P在函數y＝sin圖象上， 則t＝sin＝sin＝. 又由題意得y＝sin＝sin 2x， 故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值為. 答案　　 4.函數f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f (x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象的解析式為________. 解析　由圖象知A＝1，T＝－＝，T＝π， ∴ω＝2，由sin＝1，|φ|＜得＋φ＝?φ＝?f (x)＝sin， 則圖象向右平移個單位后得到的圖象的解析式為y＝sin＝sin. 答案　y＝sin 5.(2017·泰州調研)已知

17、函數f (x)＝2sin(ω＞0)的最大值與最小正周期相同，則函數f (x)在[－1，1]上的單調遞增區(qū)間為________. 解析　因為函數f (x)的最大值為2，所以最小正周期T＝2＝，解得ω＝，所以f (x)＝2sin，當2kπ－≤πx－≤2kπ＋，k∈Z，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z時，函數f (x)單調遞增，所以函數f (x)在x∈[－1，1]上的單調遞增區(qū)間是. 答案　 6.(2017·蘇州模擬)已知函數f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的圖象關于直線x＝對稱，且f ＝0，則ω取最小值時，φ的值為________. 解析　由－＝≥×， 解得ω≥2，故ω的

18、最小值為2. 此時sin＝0， 即sin＝0，又0＜φ＜π， 所以φ＝. 答案　 7.(2017·蘇中四校聯(lián)考)將函數f (x)＝2sin的圖象至少向右平移________個單位長度，所得圖象恰好關于坐標原點對稱. 解析　將函數f (x)＝2sin的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到y(tǒng)＝2sin是奇函數，則－2φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，當k＝0時，φ取得最小正數. 答案　 8.已知ω＞0，函數f (x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是________. 解析　由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z且ω＞0， 得≤x≤，k∈Z. 取k＝0，得≤x≤，

19、 又f (x)在上單調遞減， ∴≤，且π≤，解之得≤ω≤. 答案　 二、解答題 9.(2017·浙江卷)已知函數f (x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R). (1)求f 的值； (2)求f (x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 解　(1)f (x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x ＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， 則f ＝－2sin＝2. (2)f (x)的最小正周期為π. 由正弦函數的性質， 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數f (x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. 1

20、0.(2017·南通調考)已知函數f (x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x. (1)求函數f (x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間； (2)求f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解　f (x)＝2sin xcos x－cos 4x ＝－sin 2xcos 2x－cos 4x＝－sin 4x－cos 4x＝－sin. (1)函數f (x)的最小正周期T＝＝. 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得＋≤x≤＋，k∈Z. 所以f (x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)因為0≤x≤，所以≤4x＋≤. 此時－≤sin≤1， 所以－≤－sin≤，

21、 即－≤f (x)≤. 所以f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－. 11.設函數f (x)＝sin＋sin2x－cos2x. (1)求f (x)的最小正周期及其圖象的對稱軸方程； (2)將函數f (x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間上的值域. 解　(1)f (x)＝sin 2x＋cos 2x－cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以f (x)的最小正周期為T＝＝π. 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)， (2)將函數f (x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)＝sin＝－cos 2x的圖象，即g(x)＝－cos 2x. 當x∈時，2x∈，可得cos 2x∈， 所以－cos 2x∈，即函數g(x)在區(qū)間上的值域是. 12