備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題10 圓錐曲線 理.doc

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1、 專題10 圓錐曲線 易錯(cuò)點(diǎn)1 混淆“軌跡”與“軌跡方程” 如圖，已知點(diǎn)，直線，P為平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且，求動點(diǎn)P的軌跡． 【錯(cuò)解】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)， 由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得y2＝4x． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中求得的是動點(diǎn)的軌跡方程，而不是軌跡，混淆了“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別． 【試題解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)， 由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得y2＝4x． 故動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)的拋物線． 【參考答案

2、】動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)的拋物線． 1．求軌跡方程時(shí)，若題設(shè)條件中無坐標(biāo)系，則需要先建立坐標(biāo)系，建系時(shí)，盡量取已知的相互垂直的直線為坐標(biāo)軸，或利用圖形的對稱性選軸，或使盡可能多的點(diǎn)落在軸上.求軌跡方程的方法有: （1）直接法：直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性． （2）定義法：求軌跡方程時(shí)，若動點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程． （3）相關(guān)點(diǎn)法：動點(diǎn)所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點(diǎn)卻隨另一動點(diǎn)的運(yùn)動而有規(guī)律地運(yùn)動，而且動點(diǎn)Q的軌

3、跡方程為給定的或容易求得的，則可先將，表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程整理化簡即得動點(diǎn)P的軌跡方程． （4）參數(shù)法：若動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，且無法判斷動點(diǎn)的軌跡，也沒有明顯的相關(guān)動點(diǎn)可用，但較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動受到另一個(gè)變量的制約，即動點(diǎn)中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法. 2．求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即說出圖形的形狀、位置等． 1．在直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為圓心的圓與直線相切. （1）求圓O

4、的方程; （2）圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),圓O內(nèi)的動點(diǎn)P使成等比數(shù)列,求P點(diǎn)的軌跡方程,并指出軌跡的形狀. 【答案】（1）（2）P點(diǎn)的軌跡方程為或), P點(diǎn)的軌跡為雙曲線在圓內(nèi)的一部分. （2）由（1）設(shè) 由成等比數(shù)列得,,化簡得. 由于點(diǎn)P在圓O內(nèi),故， 由此得或. 所以P點(diǎn)的軌跡方程為或), P點(diǎn)的軌跡為雙曲線在圓內(nèi)的一部分. 易錯(cuò)點(diǎn)2 求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍 已知曲線C：y＝和直線l：y＝kx(k≠0)，若C與l有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程. 【錯(cuò)解】依題意，由 分別消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，① (k2－1)y

5、2＋2ky－2k2＝0.② 設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x，y)，則在①②中分別有， 故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為. 【錯(cuò)因分析】消元過程中，由于兩邊平方，擴(kuò)大了變量y的允許值范圍，故應(yīng)對x，y加以限制． 【試題解析】依題意，由， 分別消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，① (k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.② 設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x，y)，則在①②中分別有 又對②應(yīng)滿足，解得2，y>. 所以所求軌跡方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>)． 【參考答案】軌跡方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>). 1．一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某

6、曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： （1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； （2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)． 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 2．要注意有的軌跡問題包含一定的隱含條件，由曲線和方程的概念可知，在求曲線時(shí)一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明x的取值范圍，或同時(shí)注明x,y的取值范圍. 2．已知的三邊a、b、c(a>b>c)成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0)、(1,0)，求頂點(diǎn)B的軌跡方程. 【答案】＋＝1(－2

7、． 本題在求出頂點(diǎn)B的軌跡方程后，容易忽略了題設(shè)中的條件a>b>c，使變量x的范圍擴(kuò)大，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．另外，注意當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形． 易錯(cuò)點(diǎn)3 忽略橢圓定義中的限制條件 若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________________． 【錯(cuò)解】由，可得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6，8)． 【錯(cuò)因分析】忽略了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a＞b＞0這一限制條件，當(dāng)a＝b＞0時(shí)表示的是圓的方程． 【試題解析】由，可得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6，7)∪(7，8)． 【方法點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解橢圓的定義，明確橢圓定義中的限制條件，才能減少解題過程中的

8、失誤，從而保證解題的正確性． 【參考答案】(6，7)∪(7，8)． 平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作. 定義式：. 要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓. 3．已知F1，F(xiàn)2為兩定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點(diǎn)M的軌跡是 A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段 【答案】D 平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.若忽略了橢圓定義中|F1F2|＜2a這一隱含條件，就會錯(cuò)誤地得出

9、點(diǎn)M的軌跡是橢圓. 易錯(cuò)點(diǎn)4 忽略對橢圓焦點(diǎn)位置的討論 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，并且焦距為8，則實(shí)數(shù)k的值為_____________． 【錯(cuò)解1】因?yàn)?c＝8，所以c＝4，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2， 所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故． 【錯(cuò)解2】因?yàn)?c＝8，所以c＝4，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2， 所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故． 【錯(cuò)因分析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要進(jìn)行分類討論，而錯(cuò)解中忽略了對橢圓的焦點(diǎn)位置的討論，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 【試題解析】因?yàn)?/p>

10、2c＝8，所以c＝4， ①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2， 所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故； ②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2， 所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故． 綜上，或． 【方法點(diǎn)睛】涉及橢圓方程的問題，如果沒有指明橢圓焦點(diǎn)所在的位置，一般都會有兩種可能的情形，不能順著思維定式，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上或y軸上去求解． 【參考答案】或． 1．解決已知橢圓的焦點(diǎn)位置求方程中的參數(shù)問題，應(yīng)注意結(jié)合焦點(diǎn)位置與橢圓方程形式的對應(yīng)關(guān)系求解. 對于方

11、程， ①表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且； ②表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且； ③表示橢圓且． 對于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的橢圓的方程，其包含焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況，當(dāng)B＞A時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)B＜A時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓． 2．求橢圓的方程有兩種方法: （1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2,b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程. （2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是： 第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能（這時(shí)需要分類討論）. 第二步，設(shè)方程.根據(jù)上

12、述判斷設(shè)方程為或. 第三步，找關(guān)系.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系）. 第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求. 3．用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B). 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時(shí)要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；也可以利用橢圓的定義及焦點(diǎn)位置或點(diǎn)的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 4．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率e＝，且過點(diǎn)P(2,3)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

13、方程. 【答案】＋＝1或＋＝1. 本題在求解時(shí)容易忽略焦點(diǎn)的位置，而默認(rèn)了橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.為了避免討論，也可以如下方法設(shè)橢圓方程： 與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為且，與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為，焦點(diǎn)在x軸上或，焦點(diǎn)在y軸上． 易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略橢圓的范圍 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)到橢圓的最遠(yuǎn)距離為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【錯(cuò)解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 則，故，即． 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為d， 則， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值， 所以，解得，． 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

14、程為． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中“當(dāng)時(shí)，取得最大值”這一步的推理是錯(cuò)誤的，沒有考慮橢圓方程中y的取值范圍，事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論． 【試題解析】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 則，故，即． 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為d， 則， 若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值， 于是，解得，與矛盾，故， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值， 所以，解得，． 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 【方法點(diǎn)睛】準(zhǔn)確把握橢圓定義中的限制條件，是正確解題的前提，在求解時(shí)，應(yīng)做到步步有依據(jù)，這樣才能避免出錯(cuò)． 【參考答案】. 1．橢圓的范圍就是方程中變量x,y

15、的范圍，由得，則；，則.故橢圓落在直線x=±a，y=±b圍成的矩形內(nèi)，因此用描點(diǎn)法畫橢圓的圖形時(shí)就可以不取“矩形”范圍以外的點(diǎn)了.同時(shí)，在處理橢圓的一些參數(shù)或最值問題時(shí)要注意x，y的取值范圍. 2．設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)時(shí)，有最大值a，P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)處． 3．（1）解決橢圓＋＝1(a>b>0)中的范圍問題常用的關(guān)系有： ①－a≤x≤a，－b≤y≤b； ②離心率0

16、 ③利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征，進(jìn)而求解； ④利用函數(shù)最值的研究方法，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理，此時(shí)，應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍，常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來求解. 5．已知直線x+ky-3=0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8. （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; （2）已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1,試證:當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動時(shí),直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍. ?【答案】（1）+=1.（2）≤L≤. （2）因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在橢圓C上,所以+=1,

17、即n2=16-. 又原點(diǎn)到直線l:mx+ny=1的距離,所以直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1恒相交,則,因?yàn)?5≤m≤5,所以≤L≤. 易錯(cuò)點(diǎn)6 忽略雙曲線定義中的限制條件 已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為 A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線 【錯(cuò)解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選B． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對值”，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 【試題解析】

18、依題意得，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選D． 【參考答案】D． 在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí)，準(zhǔn)確理解雙曲線的定義，才能正確解題． 當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，其中取正號時(shí)為雙曲線的右(上)支，取負(fù)號時(shí)為雙曲線的左(下)支； 當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線； 當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡不存在． 6．

19、當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？ 易錯(cuò)點(diǎn)7 忽略雙曲線中的隱含條件 已知M是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則_____________． 【錯(cuò)解】由雙曲線的定義可知，，因?yàn)?，所以或? 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了雙曲線中的一個(gè)隱含條件，即雙曲線上的點(diǎn)到任一焦點(diǎn)的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個(gè)． 【試題解析】由雙曲線方程可得，，， 由雙曲線的圖形可得點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離． 因?yàn)?，，所?舍去)或． 【參考答案】33 1．在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí)，一定要注意這一隱含條件．

20、 2．雙曲線方程中的大小關(guān)系是不確定的，但必有. 3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區(qū)域內(nèi),同時(shí),也指明了坐標(biāo)系內(nèi)雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍. 關(guān)于雙曲線內(nèi)線段最長或最短（距離最遠(yuǎn)或最近）問題，有以下結(jié)論： （1）雙曲線的左、右頂點(diǎn)距離相應(yīng)焦點(diǎn)最近； （2）雙曲線上一點(diǎn)與某焦點(diǎn)的距離的值最小為c-a； （3）對于已知雙曲線內(nèi)（或外）一定點(diǎn)M，求雙曲線上一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與相應(yīng)焦點(diǎn)的距離與的和最小的問題，當(dāng)涉及的三點(diǎn)共線時(shí)取得最值. 7．已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值

21、為_______.? 【答案】-2 易錯(cuò)點(diǎn)8 忽略雙曲線的焦點(diǎn)所在位置的討論 已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【錯(cuò)解】由題意知，且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的原因是未審清題目條件，而誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上，從而導(dǎo)致漏解． 【試題解析】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或． 【參考答案】或． 1．求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線

22、的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 對于方程 表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 表示雙曲線 對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式： （1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程; （2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解. 注意：焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為；焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為． 2．在求雙曲線的方程時(shí)，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為. 已知雙曲線的漸近線方程，而不知焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)

23、軸時(shí)，雙曲線的方程有兩個(gè)，為避免分類討論，可設(shè)雙曲線方程為． 因此，與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為；與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為． 8．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則離心率為 A． B． C．或 D．或 【答案】C 由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中. 易錯(cuò)點(diǎn)9 忽略直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況 若過點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則___________． 【錯(cuò)解】由題意可得，代入雙曲

24、線方程得． 由題意可知，解得． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)． 【試題解析】由題意可得，代入雙曲線方程得． 當(dāng)，即時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，，解得． 綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)． 【方法點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí)，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況． 【參考答案】或. 1． 直線與雙曲線有三種位置關(guān)系： （1）無公共點(diǎn)，此時(shí)直線有可能

25、為雙曲線的漸近線． （2）有一個(gè)公共點(diǎn)，分兩種情況： ①直線是雙曲線的切線，特別地，直線過雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸； ②直線與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的一支有一個(gè)公共點(diǎn)． （3）有兩個(gè)公共點(diǎn)，可能都在雙曲線一支上，也可能兩支上各有一點(diǎn)． 2．研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)，即若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則進(jìn)一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 9．已知雙曲線C:2x2-y2

26、=2與點(diǎn)P(1,2). （1）若直線l過點(diǎn)P,求當(dāng)直線l與雙曲線C分別有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)時(shí)直線l的斜率k滿足的條件; （2）若Q(1,1),試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在. 【答案】（1）見解析；（2）以Q為中點(diǎn)的弦不存在. ②當(dāng)Δ>0時(shí),k<,且k≠±,即當(dāng)k<-或-時(shí),方程(*)無解,即l與C沒有交點(diǎn). 綜上,當(dāng)k=±或k=時(shí),l與C只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),l與C沒有交點(diǎn). 易錯(cuò)點(diǎn)10 忽略拋物線定義中的限制條件

27、 已知點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程． 【錯(cuò)解】由拋物線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，開口向右，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線的方程為． 【錯(cuò)因分析】點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，但，故此拋物線的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程． 【試題解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則由題意，得， 化簡整理得，此即所求的軌跡方程． 【參考答案】. 1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是特殊的拋物線方程，對坐標(biāo)軸的位置有嚴(yán)格的要求．若從題意中無法判斷方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，可按求曲線方程的一般步驟求解． 2．拋物線定義中要求直線l不經(jīng)過點(diǎn)F，若l經(jīng)

28、過F點(diǎn)，則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．因此當(dāng)動點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等時(shí)，不能盲目套用拋物線定義． 10．動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，1)的距離與它到直線的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是 A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 【答案】D 易錯(cuò)點(diǎn)11 忽略拋物線的焦點(diǎn)所在位置的討論 設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程. 【錯(cuò)解】易知準(zhǔn)線方程為x＝－， 因?yàn)闇?zhǔn)線與直線x＝1的距離為3， 所以準(zhǔn)線方程為x＝－2， 所以－＝－2，解得m＝8， 故拋物線方程為y2＝8x. 【錯(cuò)因分析】題目條件中未給出m的符號，當(dāng)

29、m>0或m<0時(shí)，拋物線的準(zhǔn)線是不同的，錯(cuò)解中考慮問題欠周到． 【參考答案】y2＝8x或y2＝－16x. 1．拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程與對應(yīng)圖形如下表所示： 圖 形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 注：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0． 2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 若無法確定拋

30、物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程. 11．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且通徑長為6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【答案】y2＝±6x. 本題若只考慮焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的情況，而忽略了焦點(diǎn)也可能在x軸的負(fù)半軸上的情況，則會出現(xiàn)漏解． 易錯(cuò)點(diǎn)12 忽略直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況 求過定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程． 【錯(cuò)解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為， 由消去x，得， 則，解得． 故所求直線l的方程為或． 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了

31、與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，故產(chǎn)生漏解． 【試題解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：， 當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得， 則，解得， 此時(shí)直線l的方程為或． 綜上，直線l的方程為或或． 【參考答案】直線l的方程為或或． 直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù)． （1）若，則當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相離，無公共點(diǎn)． （2）若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．特別地，當(dāng)直線l

32、的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相離，無公共點(diǎn)． 12．若直線y=kx-1與拋物線y2=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的值為_______. 【答案】-1或0 本題易忽略直線平行于拋物線的對稱軸時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn),而漏掉k=0. 一、曲線與方程 1．求曲線方程的步驟 求曲線的方程，一般有下面幾個(gè)步驟： （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合； （3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程； （4

33、）化方程為最簡形式； （5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 一般地，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫．若遇到某些點(diǎn)雖適合方程，但不在曲線上時(shí)，可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程． 2．兩曲線的交點(diǎn) （1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)． （2）兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程

34、所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題. 二、橢圓 1．橢圓的定義 平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作. 定義式：. 要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓. 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在軸上，； 焦點(diǎn)在軸上，. 說明：要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：. 3．橢圓的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 圖形 范圍 ， ， 對稱性 對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點(diǎn) 焦點(diǎn) 左焦點(diǎn)F1 (－

35、c，0)，右焦點(diǎn)F2 (c，0) 下焦點(diǎn)F1 (0，－c)，上焦點(diǎn)F2 (0，c) 頂點(diǎn) 軸 線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸； 長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，長半軸長為a，短半軸長為b 離心率e 橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法： （1）求出a,c，代入公式. （2）只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）. 三、雙曲線 1． 雙曲線

36、的定義 （1）定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線． 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距． （2）符號語言：. （3）當(dāng)時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)所對應(yīng)的雙曲線的一支； 當(dāng)時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)所對應(yīng)的雙曲線的一支； 當(dāng)時(shí)，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線； 當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)軌跡不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且. （2）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分

37、別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且． 3．雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 圖形 范圍 ， ， 對稱性 對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點(diǎn) 焦點(diǎn) 左焦點(diǎn)F1(－c，0)，右焦點(diǎn)F2(c，0) 下焦點(diǎn)F1(0，－c)，上焦點(diǎn)F2(0，c) 頂點(diǎn) 軸 線段A1A2是雙曲線的實(shí)軸，線段B1B2是雙曲線的虛軸； 實(shí)軸長|A1A2|＝2a，虛軸長|B1B2|＝2b 漸近線 離心率e 在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，首先要注意定義中的條件的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股

38、定理等知識進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用． 4．等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)： （1）方程形式為； （2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角； （3）實(shí)軸長和虛軸長都等于，離心率． 1．求雙曲線的離心率一般有兩種方法： （1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即. （2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進(jìn)行取舍. 2．求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，

39、得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時(shí)，注意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用. 四、拋物線 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F) 距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線． 點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸． 注意：直線l不經(jīng)過點(diǎn)F，若l經(jīng)過F點(diǎn)，則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)

40、在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （3）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （4）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值時(shí)，不要出現(xiàn)p＜0的錯(cuò)誤. 3．拋物線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖 形 幾 何 性 質(zhì) 范 圍 對稱性 關(guān)于x軸對稱 關(guān)于x軸對稱 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于y軸對稱 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線方程 頂 點(diǎn) 坐標(biāo)原點(diǎn)

41、(0，0) 離心率 4．拋物線的焦半徑 拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)F的連線段，叫做拋物線的焦半徑． 根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表： 拋物線方程 焦半徑公式 5．拋物線的焦點(diǎn)弦 拋物線的焦點(diǎn)弦即過焦點(diǎn)F的直線與拋物線所成的相交弦． 焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，，，則 拋物線方程 焦點(diǎn)弦公式 其中，通過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸而交拋物線于A，B兩點(diǎn)的線段AB，稱為拋物線的通徑． 對于拋物

42、線，由，，可得，故拋物線的通徑長為2p． 1．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即或，使問題簡化． 2．有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值. 五、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．曲線的交點(diǎn) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩條曲線，已知它們的方程為，求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求方程組的實(shí)數(shù)解. 方程

43、組有幾組實(shí)數(shù)解，這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn).若方程組無實(shí)數(shù)解，則這兩條曲線沒有交點(diǎn). 2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線相交時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，與雙曲線、拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn). （1）直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)相交；直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)相切；直線與橢圓沒有交點(diǎn)相離. （2）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)相交. 當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與雙曲線相切外，還有可能是直線與雙曲線相交，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行. 直線與雙曲線沒有交點(diǎn)相離. （3）直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)相交. 當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物線相交，此

44、時(shí)直線與拋物線的對稱軸平行或重合. 直線與拋物線沒有交點(diǎn)相離. 3．弦長的求解 （1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解； （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長. （3）當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長. 4．中點(diǎn)弦問題 （1）AB為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值. （2）AB為雙曲線的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值. （3）在拋物線中，以

45、M(x0，y0) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. 1．若橢圓的焦距為2,則的值為 A．9 B．9或16 C．7 D．9或7 【答案】D 2．若雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線的方程為 A．??????????? B． C．???????? ??? D． 【答案】A 【解析】依題意,由橢圓的方程可得雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為與, 則c=,a=1,所以b=1, 所以雙曲線的方程為. 3．“”是“曲線=為雙曲線”的 A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 4．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原

46、點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,又過點(diǎn)的拋物線方程是 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是x軸,并且經(jīng)過點(diǎn)(?2,3), 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2px(p>0)，∴9=4p,解得p=, ∴. (2)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(diǎn)(?2,3), 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得p=. ∴. ∴拋物線方程是或.故選D． 5．已知點(diǎn)及拋物線上一動點(diǎn),則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為,則此雙

47、曲線方程為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(1,2),∴c==,∴a2+b2=5,① 又點(diǎn)(1,2)在y=x上,∴,② 由①②解得a=1,b=2, ∴雙曲線的方程為．故選B． 7．（2017新課標(biāo)全國I理科）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】對于拋物線弦長

48、問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，將到定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上；另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握．考查最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決．此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為， 則，則， 所以 ． 8．橢圓=和雙曲線=的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),那么的值是______. 【答案】 9．（2017新課標(biāo)全國II理科）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則______. 【答案】 【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，

49、則， 在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故． 【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化． 10．已知A,B是直線y=-2上的兩動點(diǎn),∠AOB=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則外心M的軌跡方程為______. 【答案】(y+4)2-x2=8(y≥2-4) 【解析】設(shè)M(x,y),過M作MN⊥A

50、B,交AB于點(diǎn)N,由外心的性質(zhì)得∠AMN=,cos,整理得(y+4)2-x2=8(y≥2-4).故外心M的軌跡方程為(y+4)2-x2=8(y≥2-4). 11．已知拋物線C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是拋物線上的點(diǎn).若存在斜率為-2的直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且點(diǎn)A到直線l的距離等于,則直線l的方程是______. 【答案】2x+y-1=0 【解析】根據(jù)題意,得4=2p,得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.設(shè)直線l的方程為y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由點(diǎn)A到直線l的距離d=,可得,解得t=±

51、1.因?yàn)閠≥-,所以t=1,所以直線l的方程為2x+y-1=0. 12．若一個(gè)動點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離之差的絕對值為定值m(0≤m≤2)，求動點(diǎn)P的軌跡方程. 【答案】見解析 13．已知雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)，求k的值. 【答案】－1 【解析】將雙曲線方程化為kx2－y2＝1，即－＝1. 因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)是(0,3)，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－， 所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝9，得k＝－1. 14．已知命題“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,命題“方程表示雙曲線”. （1）若是真命題,求

52、實(shí)數(shù)的取值范圍; （2）若“或”是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）或. 15．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,它的兩條漸近線的夾角為,焦距為12,求此雙曲線的方程及離心率. 【答案】見解析 【解析】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為=,則漸近線方程為. ①，代入方程 得 方程為離心率； ②，代入方程= 得 方程為離心率 16．已知拋物線=,直線=與交于兩點(diǎn),且=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求拋物線的方程; （2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,記直線的斜率分別為,證明:為定值. 【答案】（1）=；（2）見解析. （2）由（1）知,==, ====, 同理, 所以===

53、. 17．已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程; （2）求的取值范圍. 【答案】（1）（2）. （2）若直線的傾斜角為,則=, 當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí),直線的方程可設(shè)為, 由=, 由, 設(shè), 則==, =, ，, 故的取值范圍為. 18．已知分別是橢圓的長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn),是橢圓的左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)為圓心、3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的交點(diǎn)在橢圓上,且. （1）求橢圓的方程; （2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),求證:. 【答案】（1）；（2）見解析.

54、 （2）由（1）及題意可畫圖,如圖,不妨令.設(shè),則. 直線的方程為， 令,得, 從而. 直線的方程為, 令,得,從而. 所以= =. 當(dāng)時(shí),, 所以,綜上可知. ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ _____________

55、___________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 45