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1、
中檔題保分練（二）
n
1. （2018臨沂模擬）在厶ABC中，已知B = 4，cos C=誇.
⑴求BC;
⑵設(shè)D是AB邊中點(diǎn)，求CD.
解析：（1）°?Cos C= 255且 ovcv n -'sin C =習(xí).
n
'?A+ B+ C= n, B = 4,
?'sin A= si n(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C =
自等+予貴3i0o.
在△ABC中，由正弦定理得:
BC = AC
sin A= sin B，
?'BC =
ACsin A sin B =
3 2.
—》 1 —》 —》
⑵--D 為 AB 邊中
2、點(diǎn)，-CD = 2（CA+ CB），
-CDf = 1(CA+ CB)2= 13，即卩 CD= 13.
2. （2018惠州模擬）如圖，在四棱錐 S-ABCD中，AB// CD，BC丄CD，側(cè)面SAB
為等邊三角形，AB= BC = 2，CD = SD= 1.
（1）證明：SD丄平面SAB;
⑵求AB與平面SBC所成的角的正弦值.
解析：（1）證明：取AB的中點(diǎn)E，連接DE，SE, 則四邊形BCDE為矩形, 所以 DE = CB = 2,所以 AD = - ；DE2 + AE2= 5,
因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，AB= 2,
所以 SA= SB= AB= 2,且 SE=
3、3,
又因?yàn)镾D= 1,
所以 SA2 + SD2= AD2, SE2+ SD2= ED2,
所以 SD1SA, SD1SE
又 SAG SE= S,
所以SD丄平面SAB.
r:
(2)過(guò)點(diǎn)S作SGJDE于點(diǎn)G,
因?yàn)?AB ISE, ABIDE, SEA DE = E, 所以AB丄平面SDE.
又AB?平面ABCD,
由平面與平面垂直的性質(zhì)，
知SG丄平面ABCD,
在 RteSE 中，由 SDSE= DE SG,
得 1 X ,3= 2SG,
所以SG^^3-
過(guò)點(diǎn)A作AH丄平面SBC于H，連接BH , 則ZABH即為AB與平面SBC所成的角， 因?yàn)镃D /
4、AB, AB丄平面SDE, 所以CD丄平面SDE, 又SD?平面SDE,
所以 CD _LSD.
在 Rt△:DS 中，由 CD = SD= 1,
求得SC= . 2.
在^SBC 中，SB= BC = 2, SC= 2, 1
所以 Szsbc= qX _2x
由 Va-sbc= Vs-abc ,
1 1
得§S/sbcAH = §S^\bc SG,
即 fxfx AH = 3X *x 2X 2X-23,
解得ah=￥，
所以sinZABH=器=亠尹,
故AB與平面SBC所成角的正弦值為
.21
3?下圖是某市11月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣
5、質(zhì)量指數(shù)(AQI) 小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨 機(jī)選擇11月1日至11月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留 3天.
空吒陋鈕指數(shù)(AQI)
映
°1 2 3 4 5 6 7 ? 9 10 11 12 14
(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
⑵設(shè)Z是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求 Z的分布列與數(shù)學(xué)期望.
解析：設(shè)Ai表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市” (i = 1,2,…，12).依題意知,
P(Ai) =占，且 Ai n Aj = ?(i 豐j).
(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染
,貝U B =
6、Ai IA2UA3 UA7UA12,
5 所以 P(B) = P(Ai UA2UA3UA7UA12)= P(Ai)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A7)+ P(Ai2)= 12.
即此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率為
5
12.
⑵由題意可知，Z的所有可能取值為0,1,2,3,
P(Z= 0) = P(A4 UA8 UA9) = P(A4)+ P(A8)+ P(A9)= 12 = 4,
P(Z= 2)= P(A2UA11)= P(A2)+ P(A11)=務(wù) 6,
P(Z= 3)= P(A1 UA12)= P(A1)+ P(A12) = 12= 6,
1115
7、
P(Z= 1)= 1-P(Z= 0)- P(Z= 2)- P( = 3)= 1-4-6-召=12, (或 P( = 1) = P(A3 UA5 UA6 UA7 UA10) = P(A3) + P(A5) + P(A6) + P(A7) + P(A10) = H)
所以Z的分布列為
Z
0
1
2
3
P
1
5
1
1
4
12
6
6
4
將直線(xiàn)I的參數(shù)方程化為普通方程，得y= — 3(x— 2),
令y= 0,得x = 2,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).
又圓C的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r = 2,則|MC| = 2 2,
所以|MN|的最大值為|
8、MC|+ r= 2,2 + 2.
2 2 2
(2)因?yàn)閳A C: x + (y — a) = a，直線(xiàn) 1: 4x+ 3y — 4a= 0,
解得a= ±
(選修4— 5:不等式選講)設(shè)a、b、c均為正數(shù)并滿(mǎn)足a+ b+ c= 3.
(1) 證明：ab+ bc+ ca<3;
⑵求、、a +2b+ 2 + 3c + 3 的最大值.
解析：(1)證明：由 a2 + b2>2ab, b2 + c2>2bc, a2 + c2>2ac,
相加可得：a2 + b2 + c2> ab+ bc+ ac.
2 2 2 2
又 9= (a+ b+ c) = a + b + c +
9、2ab+ 2bc+ 2ac>3(ab+ bc+ ac), 所以 ab+ bc+ ac< 3.
(2) 由柯西不等式得
[12+ (-2)2+ ( 3)2][C，a)2+ C.b+ 1)2+ C. c+ 1)2] > ( .a+ ,；2b + 2+ ,3c+ 3)2,
即(a+ '2b + 2+ ；3c+ 3)2< (1 + 2 + 3)(a+ b+ 1 + c+ 1)= 30,
5 2 3
當(dāng) a 1 = (b+ 1) 2= (c+ 1) 3 時(shí)等號(hào)成立，解得：a=^, b=3, c= ?,
所以"￥'a+，'2b+ 2+'：：：：.；3c+ 3的最大值為,30.
1 5 1 1 5
故 Z的期望 E(Z= 0X4+ 1X12 + 2X+ 3X6=4.
4 ?請(qǐng)?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答
(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合， 極軸與x軸
的正半軸重合，圓 C的極坐標(biāo)方程是 p= 2asin 9,直線(xiàn)I的參數(shù)方程是
3
x=-5t+ a
彳 (t為參數(shù)).
y=4t
(1) 若a = 2, M為直線(xiàn)I與x軸的交點(diǎn)，N是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值；
(2) 若直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2 6，求a的值.
解析：(1)由p1 2 3= 4pin 9得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2 + y2-4y= 0,
第一部分題型專(zhuān)項(xiàng)練中檔題保分練(二)
