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1、第四節(jié)基本不等式第四節(jié)基本不等式a0，b0 ab 算術算術幾何幾何xy 平均數平均數平均數平均數2ab 1當利用基本不等式求最大當利用基本不等式求最大(小小)值時，若等號取不到，如何值時，若等號取不到，如何處理？處理？【提示【提示】當等號取不到時，可利用函數的單調性等知識來求當等號取不到時，可利用函數的單調性等知識來求解解2若若x2y21，則，則xy有最大值還是最小值？試求之有最大值還是最小值？試求之1(教材改編題教材改編題)用用20 cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，則矩形的長和寬分別是則矩形的長和寬分別是()A7 cm,3 cmB8 cm,2 cmC6 c
2、m,4 cm D5 cm,5 cm【答案【答案】D【答案【答案】B【答案【答案】4若若x0，y0且且x8y1，則，則xy的最大值為的最大值為_利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 1本例本例(2)在求解時，關鍵是把等式轉化為關于在求解時，關鍵是把等式轉化為關于2xy的不等的不等式式2由基本不等式求最值可分為三步由基本不等式求最值可分為三步(1)檢驗字母是否全正檢驗字母是否全正(即求平均值的各個量都是正數即求平均值的各個量都是正數)(2)湊定值，當湊出的和為定值時，對應各個量的積有最大值；湊定值，當湊出的和為定值時，對應各個量的積有最大值；當湊出的積為定值時，其對應各量的和有最小值當湊出的積
3、為定值時，其對應各量的和有最小值(3)“取等號取等號”，即對應各個量能取得等號時，則可取最值；否，即對應各個量能取得等號時，則可取最值；否則，不能用基本不等式求最值則，不能用基本不等式求最值以上三步可簡稱為以上三步可簡稱為“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，三步缺一不可，三步缺一不可 利用基本不等式證明簡單的不等式利用基本不等式證明簡單的不等式 1本題中本題中“1”的代換是解決問題的關鍵，代換變形后能使用的代換是解決問題的關鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前提，不能盲目變形基本不等式是代換的前提，不能盲目變形2利用基本不等式證明不等式，關鍵是所證不等式必須是有利用基本不等式證明不等
4、式，關鍵是所證不等式必須是有“和和”式或式或“積積”式，通過將式，通過將“和和”式轉化為式轉化為“積積”式或將式或將“積積”式轉化為式轉化為“和和”式，達到放縮的效果，必要時，也需要式，達到放縮的效果，必要時，也需要運用運用“拆、拼、湊拆、拼、湊”的技巧，同時應注意多次運用基本不等式的技巧，同時應注意多次運用基本不等式時等號能否取到時等號能否取到 圍建一個面積為圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻面利用舊墻(利用的舊墻需維修利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為墻對面的新墻上要留
5、一個寬度為2 m的進出口，如圖的進出口，如圖641所示已知舊墻的維修費用為所示已知舊墻的維修費用為45元元/m，新墻的造價為，新墻的造價為180元元/m.設利用的舊墻長度為設利用的舊墻長度為x(單位：單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費，修建此矩形場地圍墻的總費用為用為y(單位：元單位：元)基本不等式的實際應用基本不等式的實際應用 (1)將將y表示為表示為x的函數；的函數；(2)試確定試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用小總費用【思路點撥【思路點撥】(1)首先明確總費用首先明確總費用y舊墻維修費建新墻費，舊墻維修費建新墻費，其
6、次，列出其次，列出y與與x的函數關系式；的函數關系式；(2)利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值，最后確定取得最值的條件，得出問題結論最后確定取得最值的條件，得出問題結論【嘗試解答【嘗試解答】(1)如圖，設矩形的另一邊長為如圖，設矩形的另一邊長為a m，1利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數量關系，并引入變量，依題意列出相理解題意，明確其中的數量關系，并引入變量，依題意列出相應的函數關系式，然后用基本不等式求解應的函數關系式，然后用基本不等式求解2在求所列函數的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，
7、在求所列函數的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數單調性求解可利用函數單調性求解從近兩年的高考試題來看，利用基本不等式求最值，解從近兩年的高考試題來看，利用基本不等式求最值，解決實際問題是高考的熱點，題型多樣，難度為中低檔題；客觀決實際問題是高考的熱點，題型多樣，難度為中低檔題；客觀題突出題突出“小而巧小而巧”，主要考查基本不等式取等號的條件及運算，主要考查基本不等式取等號的條件及運算能力；主觀題注重考查學生的邏輯推理能力及等價轉化、分類能力；主觀題注重考查學生的邏輯推理能力及等價轉化、分類討論等思想方法在用基本不等式求最值時，轉化思想顯得尤討論等思想方法在用基本不等式求最值時，轉
8、化思想顯得尤為重要為重要(2012潮州模擬潮州模擬)若正實數若正實數x，y滿足滿足2xy6xy，則，則xy的最小值是的最小值是_思想方法之十轉化思想在用基本不等式求思想方法之十轉化思想在用基本不等式求 最值中的應用最值中的應用【答案【答案】18易錯提示：易錯提示：(1)找不到解題突破口，即不能把找不到解題突破口，即不能把“和和”式轉化為式轉化為“積積”式或轉化為一個函數的形式，思維受阻，無法求解式或轉化為一個函數的形式，思維受阻，無法求解(2)用法一求解時，求得用法一求解時，求得3后忘記平方，導致錯誤答案后忘記平方，導致錯誤答案用法二求解時，不能正確變形轉化，從而無法使用基本不等式用法二求解時
9、，不能正確變形轉化，從而無法使用基本不等式求解求解防范措施：防范措施：(1)已知一個等式求某個代數式的最值時，可應用已知一個等式求某個代數式的最值時，可應用基本不等式把基本不等式把“和和”式向式向“積積”式轉化，或把式轉化，或把“積積”式向式向“和和”式轉化，也可以把代數式轉化為某一個變量的函數，再求函數式轉化，也可以把代數式轉化為某一個變量的函數，再求函數的最值的最值(2)法一的基本思想是把等式轉化為不等式，通過解不等式法一的基本思想是把等式轉化為不等式，通過解不等式求最值求最值法二的基本思想是把代數式轉化為一個函數，然后法二的基本思想是把代數式轉化為一個函數，然后通過求函數的最值求解通過求函數的最值求解【答案【答案】B2(2011天津高考天津高考)已知已知log2alog2b1，則，則3a9b的最小值為的最小值為_【答案【答案】18
高考數學總復習 第六章第四節(jié) 基本不等式課件 理
