新教材2021-2022學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊 -　超幾何分布 學(xué)案.docx

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1、7.4.2超幾何分布新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析滋么*密畿滿知識梳理工虹情境導(dǎo)入某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機(jī)挑選4個進(jìn)行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲能答對6個.問題如何求出甲通過自主招生初試的概率？若記甲答對試題的個數(shù)為X,那么如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬈浞植?？迢新知初探知識點(diǎn)超幾何分布1. 超幾何分布的概念一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用X表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=A)=箜耕,k=m,m+

2、1,?+2,，廠.其中，N,MN*,MWN,nWN,，=max0,N+A/,廠=min，M,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2. 超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p*則是N件產(chǎn)品的次品率，而三是抽取的件產(chǎn)品的次品率，則Em=nj).點(diǎn)一點(diǎn)超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系超幾何分布和二項分布都可以描述隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似模擬.。做一做1.

3、在10個村莊中，有4個村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選6個村莊中交通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為()A. N=10,M=4,n=6B. N=10,M=4,n=6B. N=10,M=6,=4C. N=14,M=10,=4CI. N=14,M=10,=4D. N=14,M=4,=1（）解析：選A根據(jù)超幾何分布概率模型知N=10,M=4,=6.率為（）CjoCfoaEc%)c3()2. 設(shè)袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概C$（）C?oCoCSoCl8ocCCD,I8o解析：選D若隨機(jī)變量X表示任取10個球中紅球的個數(shù)，則X服從參數(shù)為

4、N=100,凹=8(),=1()的超幾何分布.取到10個球中恰有6個紅球，即X=6,P(X=6)=早斜注意袋中球的個數(shù)為80+20=100).3. 某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X=3)=解析：P(X=3)=；j=和劾緣Ml國骸骨典物精析超幾何分布的概率超幾何分布的概率例1(鏈接教科書第78頁例4)10件產(chǎn)品中有2件次品，任取2件進(jìn)行檢驗，求下列事件的概率:(1)至少彳J1件次品;(2)至多有1件次品.解|(1)“至少有I件次品的對立事件是“2件都是正品”.“2件都是正品”的概率噫峨17所以“至少有1件次品”的概率為1一

5、蓋=蕓.“至多有1件次品”的對立事件為“2件都是次品”，“2件都是次品的概率為余45|44所以至多有1件次品”的概率為1一示=*有關(guān)超兒何分布問題，可直接套用公式求解，對于含“至多”“至少”等求概率問題,可先求其對立事件概率，再求原事件概率.跟蹤訓(xùn)練從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨意摸出5個球，規(guī)定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率.解：設(shè)摸出的紅球個數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其中N=25,M=10,=5,由于摸出5個球，得7分，僅有摸出兩個紅球的可能，那么恰好得7分的概率為P(X=2)=*|*0.385,即恰好得7分的概率約為0.385.超幾何分

6、布的分布列例2(鏈接教科書笫79頁例6)一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為I.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球.(1) 求取出的3個球的顏色都不相同的概率；(2) 記取得I號球的個數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.解I(1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球，所有取法的總數(shù)=C/=20,取出的3個球的顏色都不相同包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為ac%ci=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概.率為n=A=A120_1。.(2)由題意知X=0,1,2,3.八C9IC4C49P(X=0)=&=赤，戶0=1)=有=赤，CiCl9C41昭

7、=2)=有=赤，=3)=&=赤所以X的分布列為X()123P199120202020母題采究1. (變設(shè)問)在本例條件下，若記取到白球的個數(shù)為隨機(jī)變量，”求隨機(jī)變量的分布列.解：由題意可知=0,1,服從兩點(diǎn)分布.又p(=i)=金=土所以的分布列為70111P222. (變條件)將本例的條件“一次隨機(jī)抽取3個球”改為“有放I可地抽取3次，每次抽取1個球”，其他條件不變，結(jié)果又如何？解：取出3個球顏色都不相同的概率D_C|XCjXC|XAj1PD_C|XCjXC|XAj1P63(2)由題意知X=O,1,2,3.(2)由題意知X=O,1,2,3.331C4X3X3X3P(X=O)=”=,P(X=1)

8、=3-8P(X=2)=63P(X=2)=63(3X3X3X33所以X的分布列為X0123p838388求超幾何分布的分布列的步驟(1) 驗證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,材，的值；(2) 根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機(jī)變量取每一個值時的概率；(3) 用表格的形式列出分布列.跟蹤訓(xùn)練從5名女生和2名男生中任選3人參加英語演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量j表示所選3人中男生的人數(shù).(1) 求4的分布列；(2) 求j的均值和方差；(3) 求“所選3人中男生人數(shù)揀1”的概率.解：由題知j的可耗取值為0,1,2,P(e=0)=p=|,p(e=i)=華卜=：，P(S=2)ac&1cT=i所以的分布列為

9、(2-(2-2049-246由可得pcw1)=p($=()+pq=I)=5+7=7.超幾何分布的綜合應(yīng)用例3某海域共有A,B型兩種搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘.(1)現(xiàn)從中任選2艘執(zhí)行搜救任務(wù)，求恰好有一艘B型船的概率;(2)假設(shè)每艘A型船的搜救能力指數(shù)為5,每艘B型船的搜救能力指數(shù)為10.現(xiàn)從這10艘船中隨機(jī)抽出4艘執(zhí)行搜救任務(wù)，設(shè)搜救能力指數(shù)為&求，的分布列.ClCl7I解(1)設(shè)“恰好有I般B型船”為事件A,則P(A)=W=E，即恰好有I戡B型船的概率為(2)法一：依題意，4的可能取值為20,25,30,35.且p(j=20)=導(dǎo)=彩=25)=寄=孑,E)=箸葦心滬箸喘所以S

10、的分布列為202530351131P621030法二：設(shè)隨機(jī)抽取的4般船中含有B型船的艘數(shù)為，依題意服從超幾何分布，且N=10,M=4,h=3.而搜救能力指數(shù)=10+5(4一砂=20+5們其中“=0,1,2,3,所以=20,25,30,35.C9C3I且P(4=2()=P(=0)=-=qP(=25)=晌=1)=箸=；,P(=30)=P(，7=2)=甕=尋，P(4=35)=P(，7=3)=費(fèi)=令故4的分布列為4202530351131P62To30求超幾何分布的均值的步驟(1) 先判斷隨機(jī)變量服從超幾何分布，找出參數(shù)N,M,的取值；(2) 利用公式P(X=k)=C修;%,*=0,1,2,，m,?

11、=minM,)求出分布列；(3) 利用均值定義求出均值EW.跟蹤訓(xùn)練某批產(chǎn)品共1()件，己知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為=0.2.若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件.(1) 求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率；(2) 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)X的概率分布列與期望.X解：設(shè)該批產(chǎn)品中次品有工件，由已知而=0.2,所以x=2.(1) 設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為X,則X服從超幾何分布，且N=10,M=2,n=3.取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為P(X=I)=.ca7(2) 因為X的可能取值為0,1,2,且P(X=)=&=育，P(X=1)=,P(X=2)=笥=吉.所以X的概率

12、分布列為X012P71571517577I3則(X)=0X-+lX-+2X-=-劾么前酸滿思維升華工SSN隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差1. 某商場做促銷活動，凡是一家三口起來商場購物的家庭，均可參加返現(xiàn)活動，活動規(guī)則如下：商家在箱中裝入2()個大小相同的球，其中6個是紅球，其余都是黑球；每個家庭只能參加一次活動，參加活動的三口人，每人從中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球則獲得4元返現(xiàn)金，若取到紅球則獲得12元返現(xiàn)金.若某家庭參與了該活動，求該家庭獲得的返現(xiàn)金額的期望.提示：設(shè)3個人中取到黑球的個數(shù)記為隨機(jī)變量X,則3個人中取到紅球的個數(shù)記為隨機(jī)變量3X,記該家庭獲得的返現(xiàn)金

13、額為隨機(jī)變量Y,則由題意知Y=4X+12(3X)=3614-8X,因為每次取得黑球的概率為2q=0.7,所以X8(3,0.7),所以E(K)=36-8E(X)=36一8X3X0.7=19.2.2. 某籃球運(yùn)動員在三分球大賽時的命中率為假設(shè)三分球大賽中總計投出8球，投中一球得3分，投丟一球扣1分，求該運(yùn)動員得分的期望與方差.提示：設(shè)該運(yùn)動員命中球數(shù)為X,根據(jù)題意，該運(yùn)動員命中球數(shù)XB(8,直)，AE(X)=8x|=4,O(X)=8X?X(1-!)=2.設(shè)該運(yùn)動員的得分為隨機(jī)變量Y,則K的所有可能取值為一8,-4,0,4,8,12,16,20,24,且P(V=-8)=P(X=0),P(件一4)=P

14、(X=1),P(Y=0)=P(X=2),P(V=4)=P(X=3),P(Y=8)=P(X=4),P(件2)=P(X=5),P(件16)=P(X=6),P(件20)=P(X=7),P(Y=24)=P(X=8),.隨機(jī)變量X,Y的關(guān)系為V=4X-8,.E(V)=E(4X8)=4E(X)8=4X48=8,D(r)=D(4X-8)=16D(X)=16X2=32.結(jié)論求解隨機(jī)變量Y=aXb的均值時，可以先求出隨機(jī)變量X的均值頊X),然后利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,求得隨機(jī)變量V的均值；也可以先求出Y=aX+b的分布列，然后利用均值的定義公式求出隨機(jī)變量丫的均值.由以上兩題可以看出，要求期望的

15、隨機(jī)變量K本身并不服從超幾何分布或二項分布，但它和另一個服從超幾何分布或二項分布的隨機(jī)變量X可以建立一個一次函數(shù)關(guān)系，這時通常先根據(jù)超幾何分布或二項分布的期望公式求得X的期望E(X),再利用期望的性質(zhì)求得(r)；也可以直接對丫進(jìn)行分析，求得其分布列，然后利用期望的定義求解.遷移應(yīng)用網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時也解決了很多勞動力的就業(yè)問題.梁某為網(wǎng)約車司機(jī)，據(jù)梁某自己統(tǒng)計某一天出車一次的總路程數(shù)可能的取值是20,22,24,26,28,30,它們出現(xiàn)的概率依次是0.1,0.2,0.3,02,f,2，.(1) 求這一天中梁某一次行駛路程X的分布列，并求X的均值和方差；

16、(2) 網(wǎng)約車計費(fèi)規(guī)則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費(fèi)5元，若行駛路程超過3km,則每超出Ikm(不足1km也按1km計程)收費(fèi)3元.依據(jù)以上條件，計算梁某一天中出車一次收入的均值和方差.解：由概率分布的性質(zhì)知，0.1+0.2+0.3+0.1+，+2i=l,.=0.1.X的分布列為.(X)=20X0.1+22X0.2+24X0.3+26X0.1+28X0.1+30X0.2=25.X202224262830P0.10.20.30.10.10.2Z)(X)=52XO.H-32XO.2+12XO.34-12XO.H-32XO.H-52XO.2=1O,6.(2)設(shè)梁某一天出車一次的收入

17、為K元，則k=3(X-3)+5=3X-4(X3,XEN),A(r)=E(3X-4)=3E(X)-4=3X25-4=71,(r)=D(3X-4)=32D(X)=95.4.隨堂檢測1.1.（多選）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超兒何分布的是（）A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為XC.某射手的命中率為0.8,現(xiàn)對目標(biāo)射擊I次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)解析：選ACD由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選A、C、D.2.在100張獎券中，有4張能中獎，從中任取2張，則2張都能中獎的概率是（）c焉D4950解析：選C記X為2張中的中獎數(shù)，則P（X=2）=點(diǎn)=初3.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生不超過I人的概率為.解析：設(shè)所選女生的人數(shù)為隨機(jī)變量X,X服從超幾何分布，則P（XW1）=P（X=O）4-5=W-+-34-30c-c=4-C熟(%=答