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1、
第85練 不等式選講
訓(xùn)練目標(biāo)
理解不等式的解法及證明方法．
訓(xùn)練題型
(1)絕對值不等式的解法；(2)不等式的證明；(3)柯西不等式的應(yīng)用．
解題策略
(1)掌握不等式的基本性質(zhì)；(2)理解絕對值的幾何意義；(3)了解柯西不等式的幾種形式.
一、選擇題
1．(20xx·濰坊模擬)不等式|x－2|－|x－1|>0的解集為( )
A．(－∞，) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(－，＋∞)
2．(20xx·皖南八校聯(lián)考)若不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．[－1,4] B．(
2、－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[－2,5] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
3．對任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，當(dāng)a＝－3時，不等式f(x)≥3的解集為( )
A．[－1,4] B．(－∞，1]
C．[1,4] D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
5．(20xx·長沙一模)設(shè)f(x)＝|x－a|，a∈R.若對任意x∈R，f(x－a)＋f(x＋a)≥1－2a都成立，則實數(shù)a的最小值是( )
A．0 B.
C. D．1
6．對于
3、實數(shù)x，y，若|2x＋1|≤lg 4，|2y－1|≤lg 5，則|x－2y＋2|的最大值是( )
A. B．1
C. D．2
二、填空題
7．設(shè)f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)，當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域為R時，實數(shù)a的取值范圍是________．
8．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集為________．
9．若不等式|3x－b|<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍是________．
10．已知不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成立，則a的取值范圍是________．
三、解答題
11．已知實數(shù)a，b，c，d，e
4、滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，試確定e的最大值．
12．已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求證：|x＋5y|≤1.
答案精析
1．A [原不等式等價于|x－2|>|x－1|，則(x－2)2>(x－1)2，解得x<.]
2．A [由絕對值的幾何意義知，|x＋3|＋|x－1|的最小值為4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.]
3．C [|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.]
5、
4．D [當(dāng)a＝－3時，f(x)＝
當(dāng)x≤2時，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；當(dāng)2
6、C.]
7．(－∞，4)
解析 由題意知函數(shù)f(x)的定義域滿足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|>a恒成立．
設(shè)g(x)＝|x－1|＋|x－5|，則g(x)＝所以g(x)min＝4.
由|x－1|＋|x－5|－a>0恒成立，得a<4，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4)．
8．{x|00，又由絕對值不等式的性質(zhì)知，|x＋log3x|≤|x|＋|log3x|，當(dāng)且僅當(dāng)x與log3x異號時等號不成立，∵x>0，∴l(xiāng)og3x<0，
即0
7、解析 設(shè)y＝，x∈[2,6]，則y′＝－<0，
則y＝在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減，則ymin＝＝，故不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2－a|≤恒成立，
化簡得解得－1≤a≤2，故a的取值范圍是[－1,2]．
11．解 由已知得
由柯西不等式知(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，
故4(16－e2)≥(8－e)2，解得0≤e≤，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝時，e取得最大值.
12．證明 因為|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，
所以|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1，
即|x＋5y|≤1.
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