2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第三講 平面向量教案 文.docx

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第三講　平面向量 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 向量的線性運(yùn)算T7 1.平面向量是高考必考內(nèi)容，每年每卷均有一個(gè)小題(選擇題或填空題)，一般出現(xiàn)在第3～7題或第13～15題的位置上，難度較低．主要考查平面向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等，數(shù)量積是其考查的熱點(diǎn)． 2.有時(shí)也會(huì)以平面向量為載體，與三角函數(shù)、解析幾何等其他知識(shí)交匯綜合命題，難度中等. Ⅱ卷 數(shù)量積的運(yùn)算T4 Ⅲ卷 向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用T13 2017 Ⅰ卷 向量垂直的應(yīng)用T13 Ⅱ卷 向量加減法的幾何意義T4 Ⅲ卷 向量垂直的應(yīng)用T13 2016 Ⅰ卷 平面向量垂直求參數(shù)T13 Ⅱ卷 平面向量共線求參數(shù)T13 Ⅲ卷 向量的夾角公式T3 平面向量的概念及線性運(yùn)算 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第25頁 [悟通——方法結(jié)論] 如圖，A，B，C是平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ＋(1－λ). 該結(jié)論比較典型，由此可知：若A，B，C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)P不在直線l上，則存在λ∈R，使得＝λ＋(1－λ).注意：這里，的系數(shù)之和等于1. 特殊情形：若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則＝(＋)． [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：作出示意圖如圖所示． ＝＋＝＋ ＝(＋)＋(－) ＝－. 故選A. 答案：A 2．如圖，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，則2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根據(jù)圖形，由題意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋. 因?yàn)椋絩＋s，所以r＝，s＝，則2r＋3s＝1＋2＝3，故選C. 答案：C 3．(2018西安三模)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的(　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則由＝＋λ(＋)，可得＝λ(＋)＝2λ，所以點(diǎn)P在△ABC的中線AD所在的射線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選C. 答案：C 4．(2018高考全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. 解析：2a＋b＝(4,2)，因?yàn)閏∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝. 答案： 【類題通法】 1．記牢2個(gè)常用結(jié)論 (1)△ABC中，AD是BC邊上的中線，則＝(＋)． (2)△ABC中，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的重心． 2．掌握用向量解決平面幾何問題的方法 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． (2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直和距離、夾角等問題． (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 平面向量的數(shù)量積 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第26頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的兩種形式 (1)依據(jù)模和夾角計(jì)算，要注意確定這兩個(gè)向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化； (2)利用坐標(biāo)來計(jì)算，向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題，化形為數(shù)，使向量問題數(shù)字化． 2．夾角公式 cos θ＝＝. 3．模 |a|＝＝. 4．向量a與b垂直?ab＝0. [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅱ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b　　 B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b| 解析：依題意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4ab＝0，a⊥b，選A. 答案：A 2．(2018西安八校聯(lián)考)在△ABC中，已知＝，||＝3，||＝3，M，N分別是BC邊上的三等分點(diǎn)，則的值是(　　) A． B． C．6 D．7 解析：不妨設(shè)＝＋，＝＋，所以＝(＋)(＋)＝＋＋＝(＋)＋＝(32＋32)＋＝，故選B. 答案：B 3．(2018山西四校聯(lián)考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：∵a⊥(a－b)，∴a(a－b)＝a2－ab＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝. 答案：B 4．(2018合肥一模)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________． 解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝5＋2ab＝3，∴ab＝－1，∴a在b方向上的投影為＝－. 答案：－ 【類題通法】 快審題 1.看到向量垂直，想到其數(shù)量積為零． 2．看到向量的模與夾角，想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式． 避誤區(qū) 兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線. 平面向量在幾何中的應(yīng)用 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第26頁 [悟通——方法結(jié)論] 破解平面向量與“解析幾何”相交匯問題的常用方法有兩種：一是“轉(zhuǎn)化法”，即把平面向量問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，利用平面向量的數(shù)量積、共線、垂直等的坐標(biāo)表示進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用解析幾何的相關(guān)知識(shí)給予破解；二是“特值法”，若是選擇題，?？捎萌√厥庵档姆椒▉砜焖倨平猓? 　(1)(2017高考全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則(＋)的最小值是(　　) A．－2　 B．－ C．－ D．－1 解析：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，(＋)取得最小值，為－，選擇B. 答案：B (2)(2017高考全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ ＋μ ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直線BD的方程為2x＋y－2＝0，點(diǎn)C到直線BD的距離為＝，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因?yàn)镻在圓C上，所以P，＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ ＋μ ＝(λ，2μ)，所以 λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，選A. 答案：A 【類題通法】 數(shù)量積的最值或范圍問題的2種求解方法 (1)臨界分析法：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍． (2)目標(biāo)函數(shù)法：將數(shù)量積表示為某一個(gè)變量或兩個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)有界性、二次函數(shù)或基本不等式求最值或范圍． [練通——即學(xué)即用] 1．(2018南昌調(diào)研)如圖，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，點(diǎn)P在陰影區(qū)域(含邊界)中運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是(　　) A. B. C．[－1,1] D．[－1,0] 解析：∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝.如圖所示，過點(diǎn)A作AO⊥BD，垂足為O，則＝＋，＝0， ∴＝(＋)＝. ∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，取得最大值， 即＝＝＝1； 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最小值， 即＝－＝－1. ∴的取值范圍是[－1,1]． 答案：C 2．(2018遼寧五校聯(lián)考)一條動(dòng)直線l與拋物線C：x2＝4y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2，則(－)2－42的最大值為(　　) A．24 B．16 C．8 D．－16 解析：由＝2知G是線段AB的中點(diǎn)，∴＝(＋)，∴(－)2－4＝(－)2－(＋)2＝－4.由A，B是動(dòng)直線l與拋物線C：x2＝4y的交點(diǎn)，不妨設(shè)A(x1，)，B(x2，)，∴－4＝－4(x1x2＋)＝－4[(＋2)2－4]＝16－4(＋2)2≤16，即(－)2－42的最大值為16，故選B. 答案：B 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第117頁 一、選擇題 1．(2018鄭州一模)已知向量a，b均為單位向量，若它們的夾角為60?，則|a＋3b|等于(　　) A.　　 B. C. D．4 解析：依題意得ab＝，|a＋3b|＝＝，故選C. 答案：C 2．(2018石家莊模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且＝，設(shè)＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故選B. 答案：B 3．設(shè)向量a＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，若(a－b)⊥a，則實(shí)數(shù)m＝(　　) A. B. C．1 D．2 解析：因?yàn)閍＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，所以a－b＝(1，m)－(m－1,2)＝(2－m，m－2)，又(a－b)⊥a，所以(a－b)a＝0，可得(2－m)1＋m(m－2)＝0，解得m＝1或m＝2.當(dāng)m＝2時(shí)，a＝b，不符合題意，舍去，故選C. 答案：C 4．(2018南寧模擬)已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，＋＋＝0，＝2且∠BAC＝60?，則△OBC的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC. ∵＝2，∴||||cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60?，∴||||＝4.又S△ABC＝||||sin∠BAC＝，∴△OBC的面積為，故選A. 答案：A 5．(2018沈陽模擬)已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，則實(shí)數(shù)x的值為(　　) A．－2 B．2 C．4 D．6 解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)b＝0，即(－3，x－)(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故選B. 答案：B 6．(2018洛陽模擬)已知向量a＝(m,2)，b＝(3，－6)，若|a＋b|＝|a－b|，則實(shí)數(shù)m的值是(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 解析：由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方整理得ab＝0，即3m－12＝0，故m＝4，故選D. 答案：D 7．已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：因?yàn)閨a|＝|b|＝1，ab＝0， (a－c)(b－c)＝－c(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cos θ＋|c|2＝0，其中θ為c與a＋b的夾角， 所以|c|＝|a＋b|cos θ ＝ cos θ≤， 所以|c|的最大值是. 答案：C 8．(2018撫州二模)已知a，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且ca＝1，cb＝1，|c|＝，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：2＝c2＋t2a2＋b2＋2tac＋cb＋2ab＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8(t＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝，2t＝，即t＝1時(shí)等號(hào)成立，∴|c＋ta＋b|的最小值為2. 答案：B 9．(2018廣西五校聯(lián)考)設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝2，則(　　) A.＝－ B.＝－ C.＝－ D.＝－ 解析：＝＋＝－＝－－＝－. 答案：A 10．在?ABCD中，||＝8，||＝6，N為DC的中點(diǎn)，＝2，則＝(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：＝(＋)(＋)＝(＋)(－)＝2－2＝82－62＝24. 答案：C 11．(2018渭南瑞泉中學(xué)五模)如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)，且滿足∠DAP＝30?，若||＝1，||＝，＝m＋n(m，n∈R)，則等于(　　) A. B.3 C. D. 解析：如圖，考慮特殊情況，假設(shè)點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線BD上，由題意易知||＝2，∠ADB＝60?，又∠DAP＝30?，所以∠DPA＝90?.由||＝1，可得||＝＝||，從而可得＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝，則＝3.故選B. 答案：B 12．(2018東北四市模擬)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，則||的最小值為(　　) A. B. C. D. 解析：由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因?yàn)閙＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以n＝1－m且0＜m＜1，所以＝(1＋2m,4m－3)， 則||＝＝＝(0＜m＜1)， 所以當(dāng)m＝時(shí)，||min＝. 答案：C 二、填空題 13．(2017高考全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________. 解析：因?yàn)閍＋b＝(m－1,3)，a＋b與a垂直，所以(m－1)(－1)＋32＝0，解得m＝7. 答案：7 14．(2018惠州模擬)在四邊形ABCD中，＝，P為CD上一點(diǎn)，已知||＝8，||＝5，與的夾角為θ，且cos θ＝，＝3，則＝________. 解析：∵＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又＝3，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cos θ＝，∴＝85＝22，∴＝(＋)(－)＝||2－－||2＝52－11－82＝2. 答案：2 15．(2018唐山模擬)在△ABC中，(－3)⊥，則角A的最大值為________． 解析：因?yàn)?－3)⊥，所以(－3)＝0，(－3)(－)＝0，2－4＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)?＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值為. 答案： 16．(2017高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60?，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且＝－4，則λ的值為________． 解析：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 又＝32＝3， 所以＝(－＋λ) ＝－2＋(λ－)＋λ2 ＝－3＋3(λ－)＋λ4＝λ－5＝－4， 解得λ＝. 答案：