高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理學(xué)案蘇教版選修2 .doc

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2.1.1　合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，能分析合情推理的含義，能利用歸納推理和類比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理． 2．會(huì)分析歸納推理與類比推理的聯(lián)系與區(qū)別，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 重點(diǎn)：理解歸納推理和類比推理的含義，并能利用歸納推理和類比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理． 難點(diǎn)：1．能運(yùn)用合情推理進(jìn)行簡(jiǎn)單推理． 2．認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 1．推理 從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為________．任何推理都包含________和________兩個(gè)部分，________是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識(shí)是什么；________是根據(jù)________推得的命題，它告訴我們推出的知識(shí)是什么． 2．歸納推理 (1)從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為________．其思維過(guò)程大致為________→________→____________. (2)歸納推理的特點(diǎn) ①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所________． ②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需要經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)．因此，它不能作為________的工具． ③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．通過(guò)歸納法得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們________． 預(yù)習(xí)交流1 做一做：由三角形的內(nèi)角和是180，凸四邊形的內(nèi)角和是360＝2180，凸五邊形的內(nèi)角和是540＝3180，歸納出結(jié)論：__________________________________________. 3．類比推理 根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱為________，簡(jiǎn)稱________．其思維過(guò)程大致為________→________→__________. 預(yù)習(xí)交流2 做一做：對(duì)于平面幾何中的命題：夾在兩平行線之間的平行線段相等，在立體幾何中，類比上述命題，可得命題為________________． 4．合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程．________和________都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理． 預(yù)習(xí)交流3 合情推理具有哪些特點(diǎn)？ 在預(yù)習(xí)中還有哪些問(wèn)題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 答案： 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1．推理　前提　結(jié)論　前提　結(jié)論　前提 2．(1)歸納推理　實(shí)驗(yàn)、觀察　概括、推廣　猜測(cè)一般性結(jié)論 (2)①包容的范圍?、跀?shù)學(xué)證明　③發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題 預(yù)習(xí)交流1：提示：凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)180 3．類比推理　類比法　觀察、比較　聯(lián)想、類推　猜測(cè)新的結(jié)論 預(yù)習(xí)交流2：提示：夾在兩平行平面之間的平行線段相等 4．歸納推理　類比推理 預(yù)習(xí)交流3：提示：合情推理有如下特點(diǎn)： (1)在數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論； (2)證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向； (3)一般來(lái)說(shuō)，合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠． 一、歸納推理 根據(jù)下列條件寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它們的通項(xiàng)公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)． 思路分析：本題可利用歸納推理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，在得出前幾項(xiàng)結(jié)果后，要注意統(tǒng)一形式，以便尋找規(guī)律，然后歸納猜想出結(jié)論． 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，則72 011的末兩位數(shù)字為__________． 2．(2012陜西高考)觀察下列不等式 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為____________________． 3．(2012山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷，文14)若f(n)為n2＋1的各位數(shù)字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，則f(14)＝17，記f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2 012(8)＝__________. 歸納推理的一般步驟是： (1)通過(guò)觀察個(gè)別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； (2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性的命題(猜想)． 二、類比推理 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為__________． 思路分析：兩個(gè)正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8. 已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A－BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積VA－BCD＝________. (1)類比定義：本類型題解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性． (2)類比性質(zhì)(定理)：本類型題解決的關(guān)鍵是要理解已知性質(zhì)(定理)的內(nèi)涵及應(yīng)用環(huán)境、使用方法，通過(guò)研究已知性質(zhì)(定理)，刻畫新性質(zhì)(定理)的“面貌”． (3)類比方法(公式)：本類型題解決的關(guān)鍵在于從解題方法(或公式)中，獲得使用方法(或公式)的啟示或推導(dǎo)方法(或公式)的手段，從而指導(dǎo)解決新問(wèn)題． (4)類比范例：對(duì)有些提供范例的推理題，解答時(shí)可根據(jù)所給的信息與所求問(wèn)題的相似性，運(yùn)用類比的方法仿照范例，使問(wèn)題得到解決． 1．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則＝(＋)，將命題類比到四面體中去得到一個(gè)類比命題：_______________________________________________________ ________________________________________________________________________. 2．若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則數(shù)列bn＝(n∈N*)也是等差數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地： 若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn＞0，則數(shù)列dn＝______(n∈N*)也是等比數(shù)列． 3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝__________，當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)＝__________(用n表示)． 4．(2012山東濟(jì)寧鄒城二中月考，文13)給出下列命題： 命題1：點(diǎn)(1,1)是直線y＝x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)； 命題2：點(diǎn)(2,4)是直線y＝2x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)； 命題3：點(diǎn)(3,9)是直線y＝3x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)； …… 請(qǐng)觀察上面命題，猜想出命題n(n為正整數(shù))為______________________________． 5．對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖表示的“分裂”．記53的“分裂”中的最小數(shù)為a，而52的“分裂”中最大數(shù)為b，則a＋b＝__________. 6．(2012湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3 443,94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99；3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則 (1)4位回文數(shù)有________個(gè)； (2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)． 提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記. 知識(shí)精華 技能要領(lǐng) 答案： 活動(dòng)與探究1：解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0.由an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)， 得a2＝a1＋1＝1， a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32， 可歸納出an＝(n－1)2. (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，由an＋1＝an(n∈N*)得a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，可歸納猜想(n∈N*)． 遷移與應(yīng)用： 1．43　解析：因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2 011＝4502＋3，所以72 011的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43. 2．1＋＋＋＋＋＜　解析：由前幾個(gè)不等式可知1＋＋＋＋…＋＜. 所以第五個(gè)不等式為1＋＋＋＋＋＜. 3．5　解析：∵82＋1＝65,6＋5＝11，∴f(8)＝11，f1(8)＝f(8)＝11.又∵112＋1＝122,1＋2＋2＝5， ∴f2(8)＝f(f1(8))＝f(11)＝5.又52＋1＝26，2＋6＝8，∴f3(8)＝f(f2(8))＝f(5)＝8，…，同理有f4(8)＝11，f5(8)＝5，f6(8)＝8，…，∴fk(8)的值呈周期性出現(xiàn)，周期為3.∴f2 012(8)＝f2(8)＝5. 活動(dòng)與探究2：1∶8 遷移與應(yīng)用： R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)　解析：內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑R， 三角形的周長(zhǎng)：a＋b＋c三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面積公式系數(shù)三棱錐體積公式系數(shù). ∴類比得三棱錐體積 VA－BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)． (證明時(shí)，三角形的結(jié)論可用等面積法，三棱錐的結(jié)論可用等體積法) 當(dāng)堂檢測(cè) 1．在四面體A－BCD中，G是△BCD的重心，則＝(＋＋)　解析：平面中線段的中點(diǎn)類比到空間四面體中面的重心，頂點(diǎn)與中點(diǎn)的連線類比頂點(diǎn)和重心的連線． 2．　解析：等差數(shù)列中，由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得bn＝＝＝＝＝a1＋(n－1)，仍為等差數(shù)列． 而等比數(shù)列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得dn＝＝＝，仍為等比數(shù)列． 3．5　(n＋1)(n－2)　解析：如圖可得f(4)＝5. ∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5， … ∴每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來(lái)直線的條數(shù)． ∴f(n)＝f(n－1)＋n－1， 累加，得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1) ＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)． 4．點(diǎn)(n，n2)是直線y＝nx與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)　解析：由已知交點(diǎn)依次寫為(1,12)，(2,22)，(3,32)，∴命題n中交點(diǎn)為(n，n2)．直線中系數(shù)依次為1,2,3，…，∴命題n中直線的系數(shù)為n.雙曲線中系數(shù)依次為13,23，33，…，∴命題n中雙曲線系數(shù)為n3，∴命題n為：點(diǎn)(n，n2)是直線y＝nx與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)． 5．30　解析：∵22的“分裂”中有連續(xù)2個(gè)從1開始的奇數(shù)，32的“分裂”中有連續(xù)3個(gè)從1開始的奇數(shù)，42的“分裂”中有連續(xù)4個(gè)從1開始的奇數(shù)，∴52的“分裂”中有連續(xù)5個(gè)從1開始的奇數(shù)，即，∴b＝9. 又∵23,33,43的“分裂”依次是從3開始的連續(xù)奇數(shù)，∴53的“分裂”的第一個(gè)數(shù)為21，即a＝21. ∴a＋b＝30. 6．(1)90　(2)910n　解析：(1)2位回文數(shù)均是不為0的自然數(shù)，故有9個(gè)；而對(duì)于3位回文數(shù)，首、末均相同且不為0，故有9種，而對(duì)于中間一數(shù)可含有0，故有10種，因此3位回文數(shù)有90種；對(duì)于4位回文數(shù)，首、末均相同且不為0，故有9種，對(duì)于中間兩數(shù)則可含有0，故有10種，因此也有90種；(2)經(jīng)歸納可得2n＋1位回文數(shù)有910n個(gè)．