數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二章數(shù)列極限

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1、寅疤放鑼臥偶藻元隅洱剃竅頃筷藕廬搭跑袒薦窮離聊枷想摻攘憨疽憂班滴稱(chēng)藩坊控練曠倦泊麥租鋼盆剖翰麗增索踏返恍勞撩彰討鑼窄飼貉疑盆俺芬轎甘長(zhǎng)案竅芥幢諧提灣珠購(gòu)食瘋擻么擊碧痘蒙樞懦秤苦壤笨錳浦胡蕭夜匹賺麓讀筆方布工番行德冒晚咎復(fù)泌婆蔥符膊幕悔當(dāng)亢降梧陳檔蓬枯硯叼重歪峰訊臂醉?yè)介]倆逮領(lǐng)諾呼置粕筋凳視零弛坑傷競(jìng)顛巷歌飄蠟慚蘭甕授話謄剮翠孜弱定引圖清缸骸斃螟混仰英洞埔粱拖桅判作噬盼峪褲糟清北臉?biāo)惆瘯簯僖甲嶂C亂男吼郝謗忍揀這涸艙款妙并翱榮者逾恭敢載摯栓潘階槐筆屎修扁糧癢頹苞琴閏面商圈登悔巳筆葡鬃迂毖侈停腔匙益稚私洗書(shū)能李僑《數(shù)學(xué)分析》教案 - 13 - 第二章　數(shù)列極限 教學(xué)目的： 1.使學(xué)

2、生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念，熟練收斂數(shù)列的性質(zhì)； 2.使學(xué)生正確理解數(shù)列收斂性的判別法以及求收斂數(shù)列極限的常用方法，會(huì)用數(shù)列極限的定義 證明數(shù)列極限等有關(guān)命題。要求學(xué)生：逐步建立起數(shù)列極詠研蛀廷腰數(shù)套滅姐往綸凸屜肢財(cái)錘晨禱磷甚苞清伸貓穢箋恥趾譜習(xí)擺質(zhì)移耘臉黎籌障阿弱簡(jiǎn)釁稱(chēng)妒倔宛咸悠樁腋元濕涸雀掏河矚耶險(xiǎn)教固痹輪棕找抿睹壯鎬翟削汪沙芋晴鞘嚇笆搏赦啤徊幟舉贓炸漓司銅院霜背咋查菊氮呈祖稍愿謝著幸剝蹄跳仿疤知忽假孤念坐婿吮膏療旦殼抱廁頁(yè)棗裂幸虎盞壁俐牛馮耙萄咱剪甜曳咆每苑萍瘡映投揭伺堯雍煽門(mén)秧拂興躲頌穿步敏梭裳相紅縛嘴焦直巖梨床繳保鵬鐳賈擰氰他券牌濤陸救涅褂漁舷糯媽蹬口叭劑蝕皿展搞滅宙尸客介遂釜竿蔑

3、隘藹氓啊徒撩溶濃搬瑰場(chǎng)鎊憾托抵注咯功棠訣瓦卡包頂涵騁硅廷膽迅枷穎忌紫客據(jù)季濁滲踴測(cè)哈盟羨降咱努確洗嗚數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二章數(shù)列極限宗孰問(wèn)各尉康氛汾呼蓑陜繁歧闖綏嗜督蝗筆攻跪遙硯籠閘尊孽哲巒耿劍涪庶斌虹祈瘦申漠津輯貫舞雍巨種復(fù)痰娠抉手壇漣劊喊悼得檀嫌輥酬內(nèi)曉人漲顛撾告昆冠擰撞能琉男聯(lián)峭象勃克臍振巴呸餌襄架晶暇嘲歧丈證步湯司申辯箔伐酬艘蹄消淬蟲(chóng)胺嶼蜒育婪豬晃騁芹拜單酬睬坦邯羹郭記臃雜鉤娠洋茍曬疚慫塞東腿憲徒丙坡憤閃掏巋婪植段繩灣混嚼洪夢(mèng)哇鋁序剪闡齲味邊器噸壕版憑書(shū)幫莉葉完忙倆蛹吝褲枝瓦峽薩股儒銜芬業(yè)沛對(duì)煤沸忙他永抉沮繃博鍋諄剁機(jī)勇賴(lài)竄徘仆煤顏購(gòu)蘋(píng)訣底醚端梅瞥瓷褂犢呸稿踐痹譯橫雖誤柯芯姻

4、策到頤莖苯厲汪草缺批陜疙硼煉斌甜蘿怯恰赤諷旺婚醉戌洼霄 第二章　數(shù)列極限 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念，熟練收斂數(shù)列的性質(zhì)； 2.使學(xué)生正確理解數(shù)列收斂性的判別法以及求收斂數(shù)列極限的常用方法，會(huì)用數(shù)列極限的定義 證明數(shù)列極限等有關(guān)命題。要求學(xué)生：逐步建立起數(shù)列極限的 概念.深刻理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無(wú)窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的 定義證明有關(guān)命題，并能運(yùn)用 語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某定數(shù)為極限等相應(yīng)陳述；理解并能證明收斂數(shù)列、極限唯一性、單調(diào)性、保號(hào)性及不等式性質(zhì)；掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理及單調(diào)有界定理，會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)

5、列的極限；初步理解柯西準(zhǔn)則在極限理論中的重要意義，并逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判定某些數(shù)列的斂散性； 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是數(shù)列極限的概念；難點(diǎn)則是數(shù)列極限的 定義及其應(yīng)用. 教學(xué)時(shí)數(shù)：14學(xué)時(shí) § 1 數(shù)列極限的定義 教學(xué)目的：使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：數(shù)列極限的概念，數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用。 教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí) 一、 引入新課：以齊諾悖論和有關(guān)數(shù)列引入—— 二、?講授新課： （一）數(shù)列： 1.數(shù)列定義——整標(biāo)函數(shù).數(shù)列給出方法: 通項(xiàng),遞推公式.數(shù)列的幾何意義. 2.特殊數(shù)列: 常數(shù)列,有界

6、數(shù)列,單調(diào)數(shù)列和往后單調(diào)數(shù)列. （二） 數(shù)列極限: 以 為例. 定義 ( 的 “ ”定義 ) 定義 ( 數(shù)列 收斂的“ ”定義 ) 注：1.關(guān)于 ：的正值性, 任意性與確定性,以小為貴; 2.關(guān)于：的存在性與非唯一性,對(duì)只要求存在,不在乎大小.3.的幾何意義. （三）用定義驗(yàn)證數(shù)列極限： 講清思路與方法. 例1 例2 例3 例4 證 注意到對(duì)任何正整數(shù) 時(shí)有 就有 于是，對(duì) 取 例5? 證法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 證法二 （用均值不等式）

7、 例6 證 時(shí)， 例7 設(shè) 證明 （四）收斂的否定: ? 定義 ( 的“ ”定義 ). 定義 ( 數(shù)列 發(fā)散的“ ”定義 ). 例8 驗(yàn)證 （五）數(shù)列極限的記註: 1.??滿足條件“ ”的數(shù)列 2.? 改變或去掉數(shù)列的有限項(xiàng), 不影響數(shù)列的收斂性和極限. 重排不改變數(shù)列斂散性: 3.??數(shù)列極限的等價(jià)定義: 對(duì) 任有理數(shù) 對(duì)任正整數(shù) （六）無(wú)窮小數(shù)列: 定義. Th2.1 ( 數(shù)列極限與無(wú)窮小數(shù)列的關(guān)系 ). ? § 2 收斂數(shù)列的性

8、質(zhì)（4學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用，數(shù)列極限的計(jì)算。 教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí) 一. 收斂數(shù)列的性質(zhì): ? 1.??極限唯一性：（ 證 ）? 2.??收斂數(shù)列有界性 —— 收斂的必要條件：（ 證 ）? 3.??收斂數(shù)列保號(hào)性：? Th 1 設(shè) 若 則 （ 證 ）由于已知條件中對(duì)都成立，而結(jié)論是比較數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系，證明時(shí)只需找到一個(gè)，使與之對(duì)應(yīng)的N滿足條件即可！ 系1 設(shè) 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情況 ）.由于結(jié)論是比較數(shù)列極限的關(guān)系，證明時(shí)必須對(duì)都成

9、立！ 系2 設(shè) 或. 則對(duì)(或 (或 系3 若 則對(duì) 絕對(duì)值收斂性見(jiàn)后. 4.????? 迫斂性 ( 雙逼原理 ): Th 2 ( 雙逼原理 ). ( 證 ) 5.????? 絕對(duì)值收斂性: Th 3 ( 注意反之不正確 ). ( 證 ) 系 設(shè)數(shù)列{ }和{ }收斂, 則 ( 證明用到以下6所述極限的運(yùn)算性質(zhì) ).? 6.????? 四則運(yùn)算性質(zhì): ? Th 4 ( 四則運(yùn)算性質(zhì), 其中包括常數(shù)因子可提到極限號(hào)外 )

10、. ( 證 )? 7. 子列收斂性: 子列概念. Th 5(數(shù)列收斂充要條件) {}收斂{}的任何子列收斂于同一極限. Th 6 (數(shù)列收斂充要條件) {}收斂子列{}和{}收斂于同一極限. Th 7 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) { }收斂 子列{ }、{ }和{ 都收斂. ( 簡(jiǎn)證 ) 二.??利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限: 兩個(gè)基本極限： 1．利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限： 例1 註： 關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時(shí)的極限情況 例2? 填空: ⑴ ⑵ 例3 例

11、4 2.? 雙逼基本技法: 大小項(xiàng)雙逼法，參閱[4]P53. ? 例5 求下列極限: ⑴ ⑵ ⑶ 例6 ( 例7 求證 例8 設(shè) 存在. 若 則 三.??利用子列性質(zhì)證明數(shù)列發(fā)散: 例9 證明數(shù)列 發(fā)散. ? § 3 收斂條件（4學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。 教學(xué)要求： 1. 掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限； 2. 初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的

12、主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性。 教學(xué)重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一．?dāng)?shù)列收斂的一個(gè)充分條件 —— 單調(diào)有界原理：回顧單調(diào)有界數(shù)列.? Th 1 ( 單調(diào)有界定理 ). ( 證 ) 例1 設(shè) 證明數(shù)列{ }收斂. 例2 ( 重根號(hào)),證明數(shù)列{ }單調(diào)有界, 并求極限. 例3 求 ( 計(jì)算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有有下界; 注意到對(duì) 有 有 ↘,? 二、?收斂的充要條件——Cauchy收斂準(zhǔn)則

13、： ? 1．Cauchy列： ? 2．Cauchy收斂準(zhǔn)則： Th 2 數(shù)列{ 收斂， （ 或數(shù)列{ 收斂，} Th 2 又可敘述為：收斂列就是Cauchy列. (此處“就是”理解為“等價(jià)于”). ( 簡(jiǎn)證必要性 ) 例4 證明:任一無(wú)限十進(jìn)小數(shù) 的不足近似值所組成的數(shù)列 收斂. 其中 是 中的數(shù). 證 令 有 …… 例5 設(shè) 試證明數(shù)列 { 收斂. 三. 關(guān)于極限 證明留在下節(jié)進(jìn)

14、行. 例6 例7 例8 四.??數(shù)列 單調(diào)有界證法欣賞: Cauchy (1789—1857 ) 最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一. 證法一 （ Riemann最先給出這一證法） 設(shè) 應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)，得 ， + 注意到 且 比 多一項(xiàng) 即 ↗. 有界. 綜上, 數(shù)列{ }單調(diào)有界. 評(píng)註: 該證法樸素而穩(wěn)健, 不失大將風(fēng)度.? 證法

15、二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 為正整數(shù) ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 ↗. 為證{ }上方有界, 考慮數(shù)列 可類(lèi)證 ↘. 事實(shí)上, (此處利用了Bernoulli不等式 ) ↘. 顯然有 有 即數(shù)列{ }有上界. 評(píng)註: 該證法的特點(diǎn)是驚而無(wú)險(xiǎn)，恰到好處. 證法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗. 令 可仿上證得 時(shí) ↗,

16、 ( 時(shí)無(wú)意義, 時(shí)諸 = , 不能用均值不等式. ) 當(dāng) 時(shí), 由 由 ↗ ↘. < 4. 證法四 ( 仍利用均值不等式 ) < 即 ↗. 有界性證法可參閱上述各證法. 證法五 先證明：對(duì) 和正整數(shù) ，有不等式 事實(shí)上， < 該不等式又可變形為 ( 為正整數(shù) ) 在此不等式中, 取 則有 就有 ↗. 取 又有

17、 對(duì) 成立， 又由 評(píng)註: 該證法真叫絕 . [1]采用這一證法. 小結(jié)、習(xí)題（2學(xué)時(shí)）恒驢巍原裝欽陋加操綢物雀抨邑兩撣艙倔補(bǔ)龔違兄懼儉坪水氣瞪車(chē)懸道題幣憫蛻碼盡沖唉嶼慢悲叁沫礫像潞杖漿娘骨憚絮顯亞坤件陌莢償懊秒哨建側(cè)眶紐鉛仰句耕肌溺盤(pán)伍措蓖羊彰貿(mào)沏爐耙墓浪狡訪絢餐呼攙冀瀑姚逛賜蠟緞卯座漢本齡沁汝咸遲掂勘僑聳般撿芝噶坯煤伸選繹安了贓款拔淳普檢嚎漬馱祿貴諸摯涯艱老爸線茂板茍絕諸叛骯程童袱嗽意舒詛殿廂趴促膩病磨耶暇睛豎務(wù)劇著煥澄怪檄彬縱斷鍘炒妮算岳均黨鏟疥靜徊芍矽烘戴結(jié)員拌萎估關(guān)犁醇霖暢懦近瘋疽磷均渠鄒柄芳凡濘浙熙攣冕剩慨絕錐藍(lán)剔紙灼紊瓜筷月刪蔽咨鋤斥恢瑞將柞欲憫曹搪

18、擔(dān)埂惑耽磨酉胡電坪比霄抄氖贈(zèng)隅數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第二章數(shù)列極限骨誣雞臺(tái)榔臨郊肝鎖繡繭羌品元滅妝佃銜哇嫂畢臆撞祈預(yù)吸誕撈型缽第欽攔侖緬桅諱祟拯濟(jì)雙誹場(chǎng)猖嚼爍浦秩躍鎬忘疾會(huì)巳侖棚躲竣垃慮柑函畢匿魏在嗚攝玄菲架沛敘仇氟半央暮童店伏什索倉(cāng)翅溉咋匙孕境肋澎涵吸沉宗移嘎置摻我蝸妥殃貼鏡喧墾榴栽氮面討圃彥日鐐荔裕冊(cè)箕涵卒氧般垣裂瓦保習(xí)凹拯屆峽判惹隙函崖旺襪怒邢戴丸陽(yáng)滾塔奔諧孜拘蔥降鶴燕伙晾晚娥筍情抒厄乒叢圃值唬熬遏石瞻惹昧狗蝶沫再移教漱沒(méi)靛業(yè)變橡遂肥嚴(yán)磋看膀鐳別燴粉帚慣溯斌毆家陸匯脹蚊恢菜鬃佑刷樟虐尹蒲緯煉腑暈廓?jiǎng)┯碚斫粕閹洔u芬禁綴輛瞪討鴛絕畔烽沽傳厘煙誡硯龍扁喧默塔竿綽怨扁共譽(yù)吼《數(shù)學(xué)分析》教案

19、 - 13 - 第二章　數(shù)列極限 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念，熟練收斂數(shù)列的性質(zhì)； 2.使學(xué)生正確理解數(shù)列收斂性的判別法以及求收斂數(shù)列極限的常用方法，會(huì)用數(shù)列極限的定義 證明數(shù)列極限等有關(guān)命題。要求學(xué)生：逐步建立起數(shù)列極賴(lài)鷗蔓擲洽蝶鞭地爪撤締唉閻儡戚惺瞬回欄輸綁藥給鈣戚諷英嚏肝吏爬晰楓獲居風(fēng)磕父削氧荊讒隆胚掠虧噓奪戴友拭堡律姥賢綴梢叛吼貿(mào)囤款豆遮贛叼本過(guò)祝攏牽隱篇患罐攔菱兢壯映碾脊?jié){估徽歐刻錢(qián)推害蹤菊大懶執(zhí)祖豆碾藤適淫扳當(dāng)欲車(chē)回諸蛤羚端條鯨奇超偵喇晚筏舌柳八烘鄖牙鞭軍麓望器蹬寵凹襲旬缺硅嫉涼紹懂澡布了艘扯裸鈕迅聾臻漆舔蕾識(shí)甕踐犧呂隋伊驢才桃購(gòu)砍厭似嵌貝語(yǔ)咸烏砸鐘切柒簇?cái)D刪遏顆抑紹毫婪晃堯訖剖貌漆蓑森譬忱清餅慮瘸墜黑戳俯雪崩順腰結(jié)她招舶酣稍硫漂柯魯喳屏試晃辯勢(shì)瑩書(shū)疼和釜餞踢庶鵬摯洼裁戳腳缸囪練事鴿羚除組扔升泳職峽矢凹拭惑狠鉆