2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.doc

專題39 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等本專題主要舉例說明利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題.1、數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問題等），則可以考慮使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明2、第一數(shù)學(xué)歸納法：通過假設(shè)成立，再結(jié)合其它條件去證成立即可.證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立3、第一歸納法要注意的地方：（1）數(shù)學(xué)歸納法所證命題不一定從開始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù)開始，此時(shí)歸納驗(yàn)證從開始 （2）歸納假設(shè)中，要注意，保證遞推的連續(xù)性（3）歸納假設(shè)中的，命題成立，是證明命題成立的重要條件.在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系4、第二數(shù)學(xué)歸納法：在第一數(shù)學(xué)歸納法中有一個(gè)細(xì)節(jié)，就是在假設(shè)命題成立時(shí)，可用的條件只有，而不能默認(rèn)其它的時(shí)依然成立.第二數(shù)學(xué)歸納法是對(duì)第一歸納法的補(bǔ)充，將歸納假設(shè)擴(kuò)充為假設(shè)，命題均成立，然后證明命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：（1）歸納驗(yàn)證：驗(yàn)證（是滿足條件的最小整數(shù)）時(shí)，命題成立（2）歸納假設(shè)：假設(shè)成立，證明當(dāng)時(shí)，命題也成立（3）歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時(shí)，命題均成立.5.注意點(diǎn)：對(duì)于歸納猜想證明類問題，有三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).一是歸納結(jié)論不正確；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，確認(rèn)n的初始值n0不準(zhǔn)確；三是在第二步證明中，忽視應(yīng)用歸納假設(shè).【經(jīng)典例題】例1.【2018屆重慶市第一中學(xué)5月月考】已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得，然后利用題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定最小值即可.詳解：由題意結(jié)合，以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論是成立的，假設(shè)當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，則，由題意可知：，結(jié)合假設(shè)有：，解得：，綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式是正確的.據(jù)此可知：，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：，則，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，據(jù)此可知的最小值為.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法例2. 設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，滿足Sn2an2 (nN*)（1）求的值，并由此猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）中的猜想【答案】（1）；（2）見解析.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S42a42，a416. 由此猜想： (nN*) (2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a12，猜想成立 假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，猜想成立，即， 那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2ak12ak ak1=2ak， 這表明nk1時(shí)，猜想成立，由知猜想 成立點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.例3已知數(shù)列滿足：，.（）試求數(shù)列，的值；（）請(qǐng)猜想的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之.【答案】（） ， ， . （），證明見解析.由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： 當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立； 假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即有， 則對(duì)于時(shí)， 當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜上，可得對(duì)， 成立點(diǎn)睛：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題的步驟及其需要注意的問題：1、第一步：歸納奠基（即驗(yàn)證時(shí)成立）；第二步：歸納遞推（即假設(shè)時(shí)成立，驗(yàn)證時(shí)成立）； 3、兩個(gè)條件缺一不可，在驗(yàn)證時(shí)成立時(shí)一定要用到歸納假設(shè)時(shí)的結(jié)論，最后得到的形式應(yīng)與前面的完全一致.例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列中，（）（1）求證：；（2）求證：是等差數(shù)列；（3）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可證明；（2）化簡(jiǎn)，由可得是等差數(shù)列；（3）由（2）可得，從而可得，先證明，利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論.（2）由，得，所以，即，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列（3）由（2）知，因此，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以時(shí)，顯然，只需證明，即可當(dāng)時(shí)， 例5.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處切線斜率為，已知，求證：（2）在（1）的條件下，求證：【答案】見解析下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，成立假設(shè)成立，則時(shí) 時(shí)，不等式成立（2）由（1）可知 例6【浙江省紹興市2018屆5月調(diào)測(cè)】已知數(shù)列中.（1）證明：；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，顯然有.假設(shè)當(dāng)，結(jié)論成立，即，那么，即，綜上所述成立. （2）由（1）知：，即 ，； 點(diǎn)睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合函數(shù)與不等式的知識(shí)求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)例7【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的最小值為-1，數(shù)列滿足，記，表示不超過的最大整數(shù)證明：【答案】（）見解析; （）見解析.詳解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?1、當(dāng)時(shí)，即在上為增函數(shù)；2、當(dāng)時(shí)，令得，即在上為增函數(shù)；同理可得在上為減函數(shù).（）Q有最小值為-1，由（）知函數(shù)的最小值點(diǎn)為，即，則，令，當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，.（未證明，直接得出不扣分）則.由得，從而.，.猜想當(dāng)時(shí)，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.1、當(dāng)時(shí)，猜想正確.2、假設(shè)時(shí)，猜想正確.即時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，由（）知是上的增函數(shù)，則，即，例8.已知函數(shù)，在原點(diǎn)處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，（1）求的解析式；（2）計(jì)算，并由此猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析（2），則，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為（3）當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，猜想成立由知，對(duì)一切正整數(shù)都成立例9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng) (其中且)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，證明見解析.詳解：(1) 設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2 .(2)證明：由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1 的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測(cè) (1+1)(1+)(1+) (*) 當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立 假設(shè)n=k(k1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當(dāng)n=k+1時(shí)， ,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立由知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立 于是，當(dāng)a1時(shí)，Snlogabn+1 ,當(dāng) 0a1時(shí)，Snlogabn+1 .例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列滿足： .證明：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析由數(shù)列的遞推式，以及（2）的結(jié)論可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明，再結(jié)合已知可得，即可證明不等式成立.詳解：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)， 成立假設(shè)時(shí)，成立，那么時(shí)，假設(shè)，則，矛盾所以，故得證所以，故（2）由得 設(shè)則 （3）由（2）得，則 所以又，所以，所以，故所以，所以【精選精練】1用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由時(shí)等式成立推證時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)為_ .【答案】點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為_【答案】【解析】試題分析：由題意得：“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為6，因此第n項(xiàng)為 x+kw3已知數(shù)列中，且.（1）求，；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）若，且，求.【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.（2）由此猜想. 下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知成立； 假設(shè)，結(jié)論成立，即成立.則當(dāng)時(shí)，有，即 即時(shí)，結(jié)論也成立； 由可知，的通項(xiàng)公式為. （3）由（2）知， .4已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想. （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.由此猜想，（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，由題意得，當(dāng)時(shí)猜想也成立，由和，可知猜想成立，即.點(diǎn)睛：（1）在利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要注意利用前面的時(shí)的假設(shè)，否則就是偽數(shù)學(xué)歸納法，是錯(cuò)誤的.（2）看到或，要注意聯(lián)想到項(xiàng)和公式解題.5已知數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的結(jié)論.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.由此猜想；（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，由題意得，當(dāng)時(shí)猜想也成立；由和，可知猜想成立，即.6已知數(shù)列滿足且.（1）計(jì)算、的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由,，將代入上式計(jì)算出、的值，根據(jù)共同規(guī)律猜想即可；（2）對(duì)于，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.當(dāng)時(shí)，證即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立， 由得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.7在數(shù)列中， （）計(jì)算，的值（）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明【答案】（1），；（2），證明見解析.（）由（）可猜想：，證明：當(dāng)時(shí)，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)，8已知數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(1)n(2n1)(nN*)，Sn為其前n項(xiàng)和(1)求S1，S2，S3，S4的值；(2)猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論【答案】(1)S11，S22，S33，S44；(2)答案見解析.【解析】試題分析：()根據(jù)，代入計(jì)算，可求的值；()由()猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，檢驗(yàn)時(shí)等式成立，假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可.試題解析：(1)依題意可得S11，S2132，S31353，S413574；(2)猜想：Sn(1)nn.證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即Sk(1)kk，那么當(dāng)nk1時(shí)，Sk1(1)kkak1(1)kk(1)k1(2k1)(1)k1(k1)即nk1時(shí)，猜想也成立故由和可知，猜想成立.【方法點(diǎn)睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實(shí)驗(yàn)、對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一.通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明才能應(yīng)用.9設(shè)， ，令， ， .（1）寫出， ， 的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【答案】(1)a11，a2，a3；a4，猜想an （nN+）；(2)證明見解析.試題解析：（1）a11，a2f（a1）f（1），a3f（a2）；a4f（a3），猜想an （nN+）；（2）證明：易知，n1時(shí)，猜想正確. 假設(shè)nk時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f（ak）=.這說明nk1時(shí)猜想正確. 由知，對(duì)于任何nN+，都有an.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)10.【2017浙江，22】已知數(shù)列xn滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）證明：當(dāng)時(shí)，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）見解析；（）見解析；（）見解析【解析】（）由得【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明11【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)， .（）證明： ；（） 記， 為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)， .【答案】()見解析；()見解析.【解析】試題分析; （I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理論證，（）由已知，即，可得數(shù)列為遞增數(shù)列.又 ，易知為遞減數(shù)列，試題解析：（）證明：當(dāng)時(shí)顯然成立；假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)， ，所以，即時(shí)不等式也成立.綜合可知， 對(duì)任意成立. （），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.又 ，易知為遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，成立；當(dāng)時(shí)， 綜上，對(duì)任意正整數(shù)， 12已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若是展開式中所有無理項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，數(shù)列是各項(xiàng)都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明:.【答案】（1）. （2）165.（3）見解析.所以 .（3）因?yàn)?，所以要得無理項(xiàng)，必為奇數(shù)，所以， 要證明，只要證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式成立. 綜合（）（）可知對(duì)一切均成立.不等式成立 . 點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、初等函數(shù)求導(dǎo)公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于難題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立；（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論正確（證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論）；（3）得出結(jié)論.