2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

4.1數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍2會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題二、預(yù)習(xí)要點教材整理數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1) 證明當(dāng) 時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng) 時命題成立，證明 時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法三、預(yù)習(xí)檢測1用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗證n1時，等式左邊的項是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a32在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗n等于()A1 B2C3 D03已知f(n)，則()Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2)探究案一、合作探究題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1.【精彩點撥】要證等式的左邊共2n項，右邊共n項，f(k)與f(k1)相比左邊增二項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同因此，由“nk”到“nk1”時要注意項的合并再練一題1用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)7n1能被9整除(nN)【精彩點撥】先驗證n1時命題成立，然后再利用歸納假設(shè)證明，關(guān)鍵是找清f(k1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊再練一題2求證：n3(n1)3(n2)3能被9整除.題型三、證明幾何命題例3平面內(nèi)有n(n2，nN)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點，那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論【精彩點撥】(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明再練一題3在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明題型四、數(shù)學(xué)歸納法的概念例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1，nN)，在驗證n1成立時，左邊計算的結(jié)果是()A1B1aC1aa2D1aa2a3【精彩點撥】注意左端特征，共有n2項，首項為1，最后一項為an1.再練一題4當(dāng)f(k)1，則f(k1)f(k)_.二、隨堂檢測1用數(shù)學(xué)歸納法證明：123(2n1)(n1)(2n1)時，在驗證n1成立時，左邊所得的代數(shù)式為()A1 B13C123 D.12342某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)nk(kN且k1)時命題成立，則一定可推得當(dāng)nk1時，該命題也成立現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么應(yīng)有()A當(dāng)n4時，該命題成立B當(dāng)n6時，該命題成立C當(dāng)n4時，該命題不成立D當(dāng)n6時，該命題不成立3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)時，從“nk到nk1”左端需乘以的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.參考答案預(yù)習(xí)檢測：1.答案C2.答案C解析凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，故第一步檢驗n3.3.答案D隨堂檢測：1.【解析】當(dāng)n1時左邊所得的代數(shù)式為123.【答案】C2.【解析】若n4時命題成立，由遞推關(guān)系知n5時命題成立，與題中條件矛盾，所以n4時，該命題不成立【答案】C3.【解析】當(dāng)nk時，等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)當(dāng)nk1時，左邊(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比較nk和nk1時等式的左邊，可知左端需乘以2(2k1)故選B.【答案】B