2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念與性質(zhì).2.會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列(重點(diǎn))3.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn這個(gè)表格稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)性質(zhì)pi0，i1,2，n；i1.思考：求離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)按幾步進(jìn)行？提示求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量所有可能的取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出相應(yīng)的概率P(Xxi)pi(i1,2,3，n)；(3)列成表格形式2兩點(diǎn)分布X01P1pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)pP(X1)為成功概率3超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mmin，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP思考：如何正確理解超幾何分布？提示在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“優(yōu)，劣”等(1)在應(yīng)用超幾何分布解題時(shí)，應(yīng)首先明確隨機(jī)變量的取值是否滿(mǎn)足超幾何分布的使用范圍(2)在產(chǎn)品抽樣中，一般采用不放回抽樣(3)超幾何分布的分布列為X01mP基礎(chǔ)自測(cè)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中，每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)()(2)新生兒的性別、投籃是否命中、買(mǎi)到的商品是否為正品，可用兩點(diǎn)分布研究()(3)從3本物理書(shū)和5本數(shù)學(xué)書(shū)中選出3本，記選出的數(shù)學(xué)書(shū)為X本，則X服從超幾何分布()解析(1)因?yàn)樵陔x散型隨機(jī)變量分布列中每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件的概率均在0,1范圍內(nèi)(2)根據(jù)兩點(diǎn)分布的概念知，該說(shuō)法正確(3)X的可能取值為0,1,2,3，可求得P(Xk)(k0,1,2,3)，是超幾何分布答案(1)(2)(3)2下列表中能成為隨機(jī)變量X的分布列的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032128】A.X101P0.30.40.4B.X123P0.40.70.1C.X101P0.30.40.3D.X123P0.30.40.4C由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負(fù)且和為1.3若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P2a3a則a()A.B.C. D.A由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，2a3a1，所以a.4某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X3)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032129】P(X3).合 作 探 究攻 重 難分布列的性質(zhì)及應(yīng)用設(shè)隨機(jī)變量X的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P.解分布列可改寫(xiě)為：XPa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a. (2)PPPP，或P1P1.規(guī)律方法利用離散型分布列的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩個(gè)問(wèn)題(1)XXi的各個(gè)取值表示的事件是互斥的(2)不僅要注意i1而且要注意pi0，i1,2，n.跟蹤訓(xùn)練1若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P4a13a2a求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列解由分布列的性質(zhì)可知：3a2a4a11，即3a25a20，解得a或a2，又因?yàn)?a10，即a，故a2.所以a，此時(shí)4a1，3a2a.所以隨機(jī)變量X的分布列為：X01P求離散型隨機(jī)變量yf()的分布列已知隨機(jī)變量的分布列為210123P分別求出隨機(jī)變量1，22的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032130】解由1知，對(duì)于取不同的值2，1,0,1,2,3時(shí)，1的值分別為1，0，1，所以1的分布列為1101P由22知，對(duì)于的不同取值2,2及1,1，2分別取相同的值4與1，即2取4這個(gè)值的概率應(yīng)是取2與2的概率與的和，2取1這個(gè)值的概率應(yīng)是取1與1的概率與的和，所以2的分布列為20149P規(guī)律方法(1)若是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)，則ab也是一個(gè)隨機(jī)變量，推廣到一般情況有：若是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f()也是隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)值也是隨機(jī)變量，并且若為離散型隨機(jī)變量，則f()也為離散型隨機(jī)變量.(2)已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量f()的分布列的關(guān)鍵是弄清楚取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，再把取相同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表為：X012342X113579|X1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列為：(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3利用排列組合求分布列袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù)(1)求袋中所有的白球的個(gè)數(shù)(2)求隨機(jī)變量的分布列(3)求甲取到白球的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032131】思路探究可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率解(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知.可得n3或n2(舍去)，即袋中原有3個(gè)白球(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5.P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5).所以的分布列為：12345P(3)因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事件A，則P(A)P(1)P(3)P(5).規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)確定離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是要搞清取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出取每一個(gè)值的概率(2)在求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運(yùn)算量，還可以驗(yàn)證分布列是否正確跟蹤訓(xùn)練3口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出的最大號(hào)碼，求X的分布列解隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6.從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X6”包含的基本事件總數(shù)為CC.從而有P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P兩點(diǎn)分布與超幾何分布探究問(wèn)題1利用隨機(jī)變量研究一類(lèi)問(wèn)題，如抽取的獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)，買(mǎi)回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點(diǎn)？提示這些問(wèn)題的共同點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果定義一個(gè)隨機(jī)變量，使其中一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于1，另一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于0，即得到服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量2只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點(diǎn)分布？提示不一定如隨機(jī)變量X的分布列由下表給出X25P0.30.7X不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)閄的取值不是0或1.3在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中取3個(gè)球，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問(wèn)題？提示隨機(jī)變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個(gè)總體(共有N個(gè)個(gè)體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個(gè))、B(NM個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A的概率分布問(wèn)題在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032132】思路探究(1)從10張獎(jiǎng)券中抽取1張，其結(jié)果有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種，故X(0,1)(2)從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，其中含有中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券的張數(shù)X(X1,2)服從超幾何分布解(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況P(X1)，則P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列為X01P(2)顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類(lèi)事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)故所求概率P.Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060P規(guī)律方法1兩點(diǎn)分布的幾個(gè)特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的(2)由對(duì)立事件的概率求法可知，已知P(X0)(或P(X1)，便可求出P(X1)(或P(X0)2解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，從而求出X的分布列跟蹤訓(xùn)練4老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布列；(2)他能及格的概率解(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，則P(Xr)(r0,1,2,3)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布列為X0123P(2)他能及格的概率P(X2)P(X2)P(X3).當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(i)a，i1,2,3，則a的值為()A1BC DC由分布列的性質(zhì)可知：a1，解得a.2設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032133】A0 B.C. D.B設(shè)P(X1)p，則P(X0)1p.依題意知，p2(1p)，解得p.故P(X0)1p.3設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y2X1，則P(Y6)的值為()A0.3 B0.5C0.1 D0.2AY6即2X16，X，即X1,2,3，P(Y6)PP(X1)P(X2)P(X3).4將一枚硬幣擲三次，設(shè)X為正面向上的次數(shù)，則P(0X3)_.本題是一個(gè)等可能事件的概率試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是將一枚硬幣擲三次共有238種結(jié)果而X的可能取值為0,1,2,3.X0表示三次都是反面向上，有一種結(jié)果，X3表示三次都是正面向上，有一種結(jié)果所以P(0X3)1.5從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)(1)求的分布列；(2)求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032134】解(1)可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布，P(k)，k0,1,2.所以，的分布列為012P(2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P(1)P(0)P(1).