2018年秋高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法 第2課時 空間向量與垂直關系學案 新人教A版選修2-1.doc

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第2課時　空間向量與垂直關系 學習目標：1.能利用平面法向量證明兩個平面垂直．(重點)2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關系．(重點，難點) [自 主 預 習探 新 知] 空間中垂直關系的向量表示 線線垂直 設直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 線面垂直 設直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R) 面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β ? u⊥v ?uv＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 思考：若一個平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？ [提示]　垂直 [基礎自測] 1．思考辨析 (1)直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直．(　　) (2)兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．(　　) (3)若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則(　　) A．l∥α　　　　 B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 B　[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α.] 3．若直線l1的方向向量為u1＝(1,3,2)，直線l2上有兩點A(1,0,1)，B(2，－1,2)，則兩直線的位置關系是________． l1⊥l2　[＝(1，－1,1)，u1＝11－31＋21＝0， 因此l1⊥l2.] 4．已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，則平面α，β的位置關系為________. 【導學號：46342167】 α⊥β　[u1u2＝0，則α⊥β.] [合 作 探 究攻 重 難] 應用向量法證明線面垂直 　如圖3210所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點． 圖3210 求證：AB1⊥平面A1BD． [思路探究]　法一：通過證明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD 法二：證明與平面A1BD的法向量平行． [證明]　法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC． 因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系， 則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因為＝1(－1)＋22＋(－)＝0. ＝1(－2)＋21＋(－)0＝0. 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD． 法二：建系同方法一． 設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)， 則，即 令x＝1得平面A1BD的一個法向量為n＝(1,2，－)， 又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n. 所以AB1⊥平面A1BD． [規(guī)律方法]　1.坐標法證明線面垂直有兩種思路 法一：(1)建立空間直角坐標系； (2)將直線的方向向量用坐標表示； (3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量； (4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0. 法二：(1)建立空間直角坐標系； (2)將直線的方向向量用坐標表示； (3)求出平面的法向量； (4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行． 2．使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決． [跟蹤訓練] 1.如圖3211，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點，求證：直線PB1⊥平面PAC． 圖3211 [證明]　依題設，以D為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，則C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)， 于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)， ∴＝(－1,1,0)(1,1,1)＝0， ＝(－1,0,1)(1,1,1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP?平面PAC，CA?平面PAC． 故直線PB1⊥平面PAC． 應用向量法證明面面垂直 　如圖3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C． 圖3212 [思路探究]　要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1，n2，證明n1n2＝0. [解]　由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系． 則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E， 則＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝－2,0，. 設平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)． 則? 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)． 設平面AEC1的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)． 則? 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1n2＝11＋1(－1)＋04＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C． [規(guī)律方法]　1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關系，恰當建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度． [跟蹤訓練] 2．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖3213所示，截面為三角形A1B1C1，∠BAC＝90，A1A⊥平面ABC．A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC中點． 圖3213 證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 【導學號：46342168】 [證明]　如圖，建立空間直角坐標系．則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0，)，C1(0,1，)， 因為D為BC的中點， 所以D點坐標為(1,1,0)， 所以＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,0，)， 因為＝－2＋2＋0＝0，＝0＋0＋0＝0， 所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1， 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．若直線l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，則直線l與平面α的位置關系是(　　) A．l∥α B．l⊥α C．直線l與平面α相交但不垂直 D．無法確定 B　[∵μ＝a. ∴μ∥a，∴l(xiāng)⊥α.] 2．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是(　　) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) A　[選項A中，n1n2＝1(－3)＋21＋11＝0.故選A．] 3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面ABC的一個單位法向量為(　　) A． B． C． D． B　[設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有取x＝1，則y＝－2，z＝2. 所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一個單位法向量可以是.] 4．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝________. －5　[∵α⊥β，∴a⊥b， ∴ab＝x－4＋9＝0， ∴x＝－5.] 5．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為CC1的中點，證明：平面B1ED⊥平面B1BD． 【導學號：46342169】 [證明]　以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系． 設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，設平面B1DE的法向量為n1＝(x，y，z)，則x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，則y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量為n2＝(1，－1,0)，由n1n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD．