2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)教材研讀預(yù)習(xí)教材P3235，思考以下問題1楊輝三角具有哪些特點？2二項式系數(shù)的性質(zhì)有哪些？要點梳理1楊輝三角的特點(1)在同一行中每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即CCC.2二項式系數(shù)的性質(zhì)自我診斷判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)1楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列()2二項式展開式的二項式系數(shù)和為CCC.()3二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項相同()答案1.2.3.思考：楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律與二項展開式有何聯(lián)系？提示：楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律是二項式(ab)n展開式的二項式系數(shù)，即(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn. 如圖在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，記其前n項和為Sn，求S19的值解由圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，第17項是C，第18項是C，第19項是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)CCCCCCCCCCC1CC1C274.解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路(1)觀察：對題目進行多角度觀察，找出每一行的數(shù)與數(shù)之間，行與行之間的數(shù)的規(guī)律(2)表達(dá)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)(3)結(jié)論：由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論【溫馨提示】楊輝三角的作用(1)直觀地看出或探究二項式系數(shù)的性質(zhì)；(2)當(dāng)二項式系數(shù)不大時，可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù)跟蹤訓(xùn)練如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第_行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23.解析由楊輝三角知，第一行中的數(shù)是C，C；第2行中的數(shù)是C，C，C；第3行中的數(shù)是C，C，C，C，第n行中的數(shù)是C，C，C，C，設(shè)第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為23，則CC23，解之得n34.答案34題型二求展開式的系數(shù)和思考：(ab)n的展開式的二次項系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式：計算每一行的系數(shù)和，你能看出什么規(guī)律？提示：2,4,8,16,32,64，其系數(shù)和為2n. 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路導(dǎo)引解決此類問題常用賦值法，對x賦特殊的值，從而求解解(1)令x0，則a01，令x1，則a7a6a1a027128.所以a1a2a7129.(2)令x1，則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得：a1a3a5a7128(4)78256.(3)由得：a0a2a4a6128(4)78128.(4)解法一：(3x1)7展開式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，|a0|a1|a2|a7|a1a3a5a7(a0a2a4a6)8256(8128)16384.解法二：|a0|a1|a2|a7|即為(13x)7展開式中各項的系數(shù)和，所以|a0|a1|a2|a7|(13)74716384.“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x0可得常數(shù)項，令x1可得所有項系數(shù)之和，令x1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差跟蹤訓(xùn)練已知(13x)8a0a1xa7x7a8x8.求：(1)a0a1a8；(2)a0a2a4a6a8；(3)|a0|a1|a2|a8|.解(1)令x1，得a0a1a828256.(2)令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a7a848.，得2(a0a2a4a6a8)2848，a0a2a4a6a8(2848)32896.(3)由于(13x)8CC(3x)C(3x)2C(3x)8a0a1xa2x2a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0，|a0|a1|a2|a8|a0a1a2a3a84865536.思考：二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，這種說法對嗎？提示：錯誤二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的，二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān) 已知f(x)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項思路導(dǎo)引令x1，求得各項系數(shù)和，而二項式系數(shù)之和為2n，依題意可解得n的值解(1)令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展開式的通項公式為Tr1C3rx(52r)假設(shè)Tr1項系數(shù)最大，則有r.rN，r4.展開式中系數(shù)最大的項為T5C34x405x.(1)求二項式系數(shù)最大的項，要依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(ab)n中的n進行討論，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的求展開式系數(shù)最大的項，如求(abx)n(a、bR展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，An1，且第r1項系數(shù)最大，應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大的項跟蹤訓(xùn)練在8的展開式中，(1)求二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？解Tr1C()8rr(1)rC2rx.(1)二項式系數(shù)最大的項為中間項，即為第5項，故T5C24x1120x6.(2)設(shè)第r1項系數(shù)的絕對值最大，則即整理得于是r5或6.故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項1.本節(jié)課的重點是二項式系數(shù)的性質(zhì)及展開式的系數(shù)和問題，難點是二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)與楊輝三角有關(guān)的問題，見典例1；(2)求展開式的系數(shù)和，見典例2；(3)展開式中的最大值問題，見典例3.3要重點關(guān)注以下幾個易錯點(1)若展開式的系數(shù)的絕對值與對應(yīng)二項式系數(shù)相等，可轉(zhuǎn)化為確定二項式系數(shù)的最值來解決(2)一般地，二項展開式f(x)中的各項系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)和為f(1)f(1)，偶數(shù)項系數(shù)和為f(1)f(1)(3)“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題的常用方法，賦值就是對展開式中的字母用具體數(shù)值代替，注意賦的值要有利于問題的解決，賦值時可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況