福建省莆田第八中學(xué)2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文.doc

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2017-2018學(xué)年度莆田八中高二(文）下學(xué)期期中考 考試范圍：集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、選做題；考試時(shí)間：120分鐘. 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上 第I卷（選擇題） 一、單選題（5*12=60） 1．已知集合， ，則（ ） A. B. C. D. 2．已知命題 “存在，使得”，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A. “任意，使得” B. “不存在，使得” C. “任意，使得” D. “任意，使得” 3．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則在定義域內(nèi) （ ） A. 為增函數(shù) B. 為減函數(shù) C. 有最小值 D. 有最大值 4．函數(shù)的圖象如圖，則該函數(shù)可能是（ ） A. B. C. D. 5．設(shè)， ， ，則（ ） A. B. C. D. 6．已知為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則＝（ ） A. －9 B. －2 C. 4 D. 2 7．已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為( ) A. B. C. D. 8．如圖，A,B是半徑為1的⊙O上兩點(diǎn)，且OA⊥OB. 點(diǎn)P從A出發(fā)，在⊙O上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，弦BP的長(zhǎng)度為y，那么下面圖象中可能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是( ) A. ① B. ④ C. ②或④ D. ①或③ 9．已知定義在上的函數(shù)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 10．已知, ,若,則下列結(jié)論中,不可能成立的是( ) A. B. C. D. 11．設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且?x∈R，f＝f，當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝x，則當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝(　　) A. |x＋4| B. |2－x| C. 2＋|x＋1| D. 3－|x＋1| 12．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)， ， ，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（4*5=20） 13．函數(shù)的定義域是____________. 14．已知函數(shù)，則__________． 15．已知函數(shù)、分別是二次函數(shù)和三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是__________． 16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，若，則的取值范圍為 __________． 三、解答題（11+11+12+12+12+12） 17．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線： ，曲線： （）． （1）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （2）設(shè)點(diǎn)在上， ，求動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程． 18．[選修4-5：不等式選講] 已知. （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍. 19. 已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程； （2）求函數(shù)區(qū)間[-2,3]上的最值． 20．已知命題： ，命題： . （1）若，求實(shí)數(shù)的值； （2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 21．已知實(shí)數(shù)，且滿足不等式. （1）解不等式； （2）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求實(shí)數(shù)的值. 22．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求證： 時(shí)， 參考答案 1．B 【解析】 由集合， 所以，故選B． 2．C 【解析】 根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題 “存在，使得”的否定為“任意，使得”，故選C. 3．C 【解析】由題冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則 即冪函數(shù)為故在定義域內(nèi)有最小值 . 選C. 4．D 【解析】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，則排除A，又，排除B， C、D由函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)判斷，當(dāng)時(shí)， ， ， 由圖觀察可得，應(yīng)選D。 點(diǎn)睛：根據(jù)圖象選擇解析式，或根據(jù)解析式選擇圖象，一般通過(guò)奇偶性和特殊點(diǎn)進(jìn)行排除法選出正確答案。本題中A、B比較同意排除，在C、D中，根據(jù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)進(jìn)行進(jìn)一步選擇。 5．A 【解析】 故 故選 6．D 【解析】∵， ∴， ∴當(dāng)或時(shí)， 單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減． ∴當(dāng)時(shí)， 有極小值，即函數(shù)的極小值點(diǎn)為2．選D． 7．B 【解析】由題意可知,,a ，令. 故選:B. 8．D 【解析】此題首先要想到分類：點(diǎn)P順時(shí)針轉(zhuǎn)或點(diǎn)P逆時(shí)針轉(zhuǎn).然后再根據(jù)BP的長(zhǎng)度變化趨勢(shì)可選擇函數(shù)關(guān)系式.故選D. 9．A 【解析】定義在上的函數(shù)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和各有一解，即且，即.故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用.解決本題的技巧是靈活地將方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域問(wèn)題，避免了討論或數(shù)形結(jié)合思想思想的應(yīng)用，但要注意和各有一解. 10．B【解析】, ,所以，因此 即或或，因此選B. 11．D 【解析】 滿足 滿足 即 若時(shí)，則 若 ∵函數(shù) 為偶函數(shù)， 即 若 則 則 即 故選D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵． 12．A 【解析】解法1：令，則：原不等式等價(jià)于求解不等式， ， 由于，故，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，且，據(jù)此可得，不等式即： ， 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得不等式的解集為 . 本題選擇A選項(xiàng). 解法2：構(gòu)造函數(shù)，滿足函數(shù)是定義在上的增函數(shù)， ， ，則不等式即： ， ，即不等式的解集為. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效. 13． 【解析】要使函數(shù)函數(shù)有意義，根據(jù)根式與分母有意義可得， ，定義域是， 故答案為. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2) 對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3) 若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域由不等式求出. 14． 【解析】由函數(shù)，得. 又，所以. 所以. 故答案為：4. 15． 【解析】二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，∵一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，∴，，∵二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，，∴，∴，∴，記為常數(shù)，則，，，∴，故答案為． 16．或 【解析】由于奇函數(shù) 在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上是減函數(shù)， 所以不等式的解為所以所以故填或. 17．（1）（2）， ． 【解析】試題分析：（1）聯(lián)立極坐標(biāo)方程，柯姐的交點(diǎn) 極坐標(biāo)；（2）設(shè)， 且，根據(jù)，即可求出，從而寫(xiě)出點(diǎn)的極坐標(biāo). 試題解析： 解：（1）聯(lián)立 ， ∵， ， ， ∴所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)． （2）設(shè)， 且， ， 由已知，得 ∴，點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為， ． 18．（Ⅰ）. （Ⅱ）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）分、和三種情況分類討論去掉絕對(duì)值，即可求解不等式的解集； （Ⅱ）由（Ⅰ）去掉絕對(duì)值，得到分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，要使得在上恒成立，只需圖象上的點(diǎn)在直線上或其上方，借助函數(shù)的圖象，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍． 試題解析： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得； 當(dāng)時(shí)，由，得，所以； 當(dāng)時(shí)， ，得， 所以不等式的解集為. （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 作出的圖象如圖所示， 要使在上恒成立，只需圖象上的點(diǎn)在直線上或其上方， 當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)， ， 當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)， ，所以最大為3， 由圖象可知. 19．(1)2;(2) 實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）. 【解析】試題分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化簡(jiǎn)后，由，借助于數(shù)軸列方程組可解的值；（2）把是的充分條件轉(zhuǎn)化為集合和集合之間的包含關(guān)系，運(yùn)用兩集合端點(diǎn)值之間的關(guān)系列不等式組求解的取值范圍. 試題解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由A∩B=?，A∪B=R，得 ，得a=2，所以滿足A∩B=?，A∪B=R的實(shí)數(shù)a的值為2； （2）因p是q的充分條件，所以A?B，且A≠?，所以結(jié)合數(shù)軸可知， a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4， 所以p是q的充分條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 20．18. 解：（1）時(shí)， 切點(diǎn) . ………………………1分 .……………………………3分 則直線：， 即為所求. ………………5分 （2）令，則.………………………6分 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： ……………10分 故函數(shù)區(qū)間上的最大值為， 最小值為.…………12分 21．（1）（2） 【解析】試題分析：（1）因?yàn)榈讛?shù)大于，故不等式可以轉(zhuǎn)化為，解得.（2）原函數(shù)可以化為，當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，故，從而，也即是. 解析：（1）由題意得: ，∴，∴，解得. （2），令，當(dāng)時(shí)， ， ，所以，所以.∵，∴的對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，∴，∴. 22．(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析： （1）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， . （2）令，由（1）可知 令，二次求導(dǎo)討論可得 由 式相乘，可得 （當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）. 試題解析： （1） ， ∴在區(qū)間內(nèi)， ； 在區(qū)間內(nèi)， ； 在區(qū)間內(nèi)， ， 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， . （2）令， 由（1）可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 令， 則， 設(shè)，則， 故僅有一解為， 在區(qū)間內(nèi)， ， 在區(qū)間內(nèi)， ， ∴ 由 式相乘，得， 即 （當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）. 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．