2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 課時(shí)作業(yè)16 反證法 新人教A版選修2-2.doc

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課時(shí)作業(yè)16　反證法 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于60”時(shí)，反設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都小于60 B．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60 C．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 解析：“至少有一個(gè)”的反設(shè)詞是“一個(gè)也沒(méi)有”．故選A. 答案：A 2．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 解析：恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無(wú)偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)，故選D. 答案：D 3．下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是(　　) A．在△ABC中，若∠A＝90，則∠B一定是銳角 B.， ， 不可能成等差數(shù)列 C．在△ABC中，若a>b>c，則∠C>60 D．若n為整數(shù)且n2為偶數(shù)，則n是偶數(shù) 解析：顯然A、B、D命題均真，C項(xiàng)中若a>b>c， 則A>B>C， 若∠C>60，則A>60，B>60， ∴A＋B＋C>180與A＋B＋C＝180矛盾．故選C. 答案：C 4．設(shè)x>0，則方程x＋＝2sinx的根的情況是(　　) A．有實(shí)根　　　　　　B．無(wú)實(shí)根 C．恰有一實(shí)根 D．無(wú)法確定 解析：x>0時(shí)，x＋≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同時(shí)取得，∴x＋＝2sinx無(wú)實(shí)根． 答案：B 5．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù)(　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 解析：若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，顯然①，②矛盾，所以C正確． 答案：C 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_(kāi)_______________________________________________________________________． 解析：“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”， 因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”． 答案：a，b不全為0 7．命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是________________________________________________________________________． 解析：方程解的情況有：①無(wú)解；②唯一解；③兩個(gè)或兩個(gè)以上的解． 答案：無(wú)解或至少兩解 8．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，∠A＝∠B＝90不成立． ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角． ③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90. 正確順序的排列為_(kāi)_______． 解析：反證法的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過(guò)推理得出矛盾，最后否定假設(shè)，得到命題是正確的． 答案：③①② 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：，，不成等差數(shù)列． 證明：假設(shè)，，成等差數(shù)列，則 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b， 而b2＝ac，即b＝， ∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0. 即＝， 從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾， 故，，不成等差數(shù)列． 10．求證：過(guò)一點(diǎn)只有一條直線與已知平面垂直． 解析：已知：平面α和一點(diǎn)P. 求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條． 證明如下：如圖所示，不論點(diǎn)P在α內(nèi)還是在α外，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)． 假設(shè)過(guò)點(diǎn)P還有另一條直線PB⊥α， 設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a， 于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾， ∴假設(shè)不成立，原命題成立． |能力提升|(20分鐘，40分) 11．有以下結(jié)論： ①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2； ②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤 D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確 解析：用反證法證題時(shí)一定要將對(duì)立面找全．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2.故①的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而②的假設(shè)是正確的，故選D. 答案：D 12．完成反證法證題的全過(guò)程． 題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個(gè)數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)． 因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有 奇數(shù)＝________________ ＝________________ ＝0. 但奇數(shù)≠偶數(shù)，這一矛盾說(shuō)明p為偶數(shù)． 解析：由假設(shè)p為奇數(shù)可知a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)矛盾． 答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 13．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)， 因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1， 這與已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 14．若a，b，c均為實(shí)數(shù)且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0. 證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 則有a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 因?yàn)?x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于或等于0，且π－3>0， 所以a＋b＋c>0，這與假設(shè)a＋b＋c≤0矛盾，故假設(shè)不成立．所以a，b，c中至少有一個(gè)大于0.