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選考系列
一、高考預(yù)測
幾何證明選講是高考的選考內(nèi)容,主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),射影定理,平行線分線段成比例定理;圓的切線定理,切割線定理,相交弦定理,圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等.題目難度不大,以容易題為主.對本部分的考查主要是一道選考解答題,預(yù)測20xx年仍會如此,難度不會太大.
矩陣與變換主要考查二階矩陣的基本運(yùn)算,主要是以解答題的形式出現(xiàn).
3、預(yù)測在20xx年高考主要考查(1)矩陣的逆矩陣;(2)利用系數(shù)矩陣的逆矩陣求點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線方程.
坐標(biāo)系與參數(shù)方程重點(diǎn)考查直線與圓的極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化;直線,圓與橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,題目不難,考查“轉(zhuǎn)化”為目的.預(yù)測20xx高考中,極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)系間的互化仍是考查的熱點(diǎn),題目容易.
不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一,主要考查絕對值的幾何意義,絕對值不等式的解法以及不等式證明的基本方法(比較法、分析法、綜合法).關(guān)于含有絕對值的不等式的問題.預(yù)測20xx年高考在本部分可能會考查不等式的證明或求最值問題.
1.極點(diǎn)的極徑為0,極角為任意角,即極
4、點(diǎn)的坐標(biāo)不是惟一的.極徑ρ的值也允許取負(fù)值,極角θ允許取任意角,當(dāng)ρ<0時,點(diǎn)M(ρ,θ)位于極角θ的終邊的反向延長線上,且OM=|ρ|,在這樣的規(guī)定下,平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不是惟一的,即給定極坐標(biāo)后,可以確定平面上惟一的點(diǎn),但給出平面上的點(diǎn),其極坐標(biāo)卻不是惟一的.這有兩種情況:①如果所給的點(diǎn)是極點(diǎn),其極徑確定,但極角可以是任意角;②如果所給點(diǎn)M的一個極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ≠0),則(ρ,2kπ+θ),(-ρ,(2k+1)π+θ)(k∈Z)也都是點(diǎn)M的極坐標(biāo).這兩種情況都使點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一,因此在解題的過程中要引起注意.
2.在進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化時,要求極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重
5、合,極軸與x軸的正半軸重合,且長度單位相同,在這個前提下才能用轉(zhuǎn)化公式.同時,在曲線的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化時,如遇約分,兩邊平方,兩邊同乘以ρ,去分母等變形,應(yīng)特別注意變形的等價性.
3.對于極坐標(biāo)方程,需要明確:①曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)不一定滿足方程.如點(diǎn)P(1,1)在方程ρ=θ表示的曲線上,但點(diǎn)P的其他形式的坐標(biāo)都不滿足方程;②曲線的極坐標(biāo)方程不惟一,如ρ=1和ρ=-1都表示以極點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓.
4.同一個參數(shù)方程,以不同量作為參數(shù),一般表示不同的曲線.
5.任何一個參數(shù)方程化為普通方程,從理論上分析都存在擴(kuò)大取值范圍的可能性.從曲線和方程的概念出發(fā),應(yīng)通過限制普通方程中變
6、量的取值范圍,使化簡前后的方程表示的是同一條曲線,原則上要利用x=f(t),y=g(t),借助函數(shù)中求值域的方法,以t為自變量,求出x和y的值域,作為普通方程中x和y的取值范圍.
7.注意柯西不等式等號成立的條件?a1b2-a2b1=0,這時我們稱(a1,a2),(b1,b2)成比例,如果b1≠0,b2≠0,那么a1b2-a2b1=0?=.若b1·b2=0,我們分情況說明:①b1=b2=0,則原不等式兩邊都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0,原不等式化為(a+a)b≥ab,是自然成立的;③b1≠0,b2=0,原不等式和②的道理一樣,自然成立.正是因?yàn)閎1·b2=0時,不等式恒成立,因此我們
7、研究柯西不等式時,總是假定b1·b2≠0,等號成立的條件可寫成=.
三、易錯點(diǎn)點(diǎn)睛
幾何證明選講 幾何證明選講是考查同學(xué)們推理能力、邏輯思維能力的好資料,題目以證明題為主,特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目,我們更應(yīng)注意.重點(diǎn)把握以下內(nèi)容:1.射影定理的內(nèi)容及其證明;2.圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及證明;3.圓冪定理的內(nèi)容及其證明;4.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定;5.平行投影的性質(zhì)與圓錐曲線的統(tǒng)一定義.
如圖,A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn),且EC=ED.(1)證明:CD∥AB;(2)延長CD到F,延長DC到G,使得EF=EG,證明:A,B
8、,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
證明 (1)因?yàn)镋C=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知,AE=BE.因?yàn)镋F=EG,故∠EFD=∠EGC,從而∠FED=∠GEC.連結(jié)AF,BG,則△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
易錯提醒 (1)對四點(diǎn)共圓的性質(zhì)定理和判定定理理解不透.(2)不能正確作出輔助線,構(gòu)造四邊形.(3)角的關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng).
矩陣與變換
9、矩陣與變換易錯易漏 (1)因矩陣乘法不滿足交換律,多次變換對應(yīng)矩陣的乘法順序易錯. (2)圖形變換后,所求圖形方程易代錯.
已知矩陣M=\o(\s\up12(1b,N=\o(\s\up12(c0,且MN=\o(\s\up12(2-2 .(1)求實(shí)數(shù)a,b,c,d的值;(2)求直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程.
解 方法一 (1)由題設(shè)得解得
易錯提醒 (1)忽視將C1的參數(shù)方程和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程,即轉(zhuǎn)化目標(biāo)不明確.(2)轉(zhuǎn)化或計算錯誤.
不等式選講
設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a3+b3≥(a2+b2).
證明 由a,b是非負(fù)實(shí)數(shù)
10、,作差得a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)
=(-)[()5-()5].
當(dāng)a≥b時,≥,從而()5≥()5,得(-)[()5-()5]≥0;
當(dāng)a0.
所以a3+b3≥(a2+b2).
易錯提醒 (1)用作差法證明不等式入口較易,關(guān)鍵是分解因式,多數(shù)考生對分組分解因式不熟練.(2)分解因式后,與零比較時,易忽略分類討論.
設(shè),且,求的取值范圍。
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1、自圓外一點(diǎn)引圓的一條切線,切點(diǎn)為,為的中點(diǎn),過點(diǎn)引圓的割線交該圓于兩點(diǎn),且,.⑴求證:與相似;
⑵求的大小.
11、
2、如圖,圓的直徑,是延長線上一點(diǎn),,割線交圓于點(diǎn)、,過點(diǎn)作的垂線,交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求的值.
4、如圖所示,已知PA與相切,A為切點(diǎn),PBC為割線,弦相交于E點(diǎn),F(xiàn)為CE上一點(diǎn),且.
⑴求證:;
⑵求證:.
5、如圖內(nèi)接于圓,,直線切圓于點(diǎn),∥相交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若.
第22題圖
6、如圖,直線AB經(jīng)過圓上O的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,圓O交于直線OB于E,D,連接EC
12、,CD,若tan∠CED=,圓O的半徑為3,求OA的長.
9、在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(Ⅰ)求圓的直角坐標(biāo)方程;Ⅱ)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求.
10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,判斷曲線C:(q為參數(shù))與直線l:(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn),并證明你的結(jié)論.
13、已知函數(shù)⑴解不等式;⑵若關(guān)于的方程的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14、已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)時,解關(guān)于的不等式;
(Ⅱ)若使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
15、設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;(Ⅱ)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,試求a的取值范圍.
16、設(shè)均為正數(shù),證明:.
17、已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;(2)若關(guān)于的不等式的解集是,求的取值范圍.
22、已知二階矩陣M有特征值=3及對應(yīng)的一個特征向量,并且M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)變換成(9,15), 求矩陣M.