2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第一課時 兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 學(xué)案學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第一課時　兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P2～12，思考以下問題 1．什么是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理？ 2．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？ [要點梳理] 1．分類加法計數(shù)原理 2．分步乘法計數(shù)原理 3．兩個計數(shù)原理的區(qū)別 [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) 2．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(　　) 3．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) 4．在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　) [答案]　1.　2.√　3.√　4.√ 思考：若完成一件事情有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同方法？ 提示：完成這件事共有m1＋m2＋…＋mn種不同方法． 某校高三共有三個班，其各班人數(shù)如下表 班級 男生數(shù) 女生數(shù) 總數(shù) 高三1班 30 20 50 高三2班 30 30 60 高三3班 35 20 55 (1)從三個班中選一名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？ (2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？ [思路導(dǎo)引]　采用分類加法計數(shù)原理求解時，關(guān)鍵是找好每一類方法中有多少種不同方法． [解]　(1)從三個班中任選一名學(xué)生，可分三類： 第一類，從1班任選一名學(xué)生，有50種不同選法； 第二類，從2班任選一名學(xué)生，有60種不同選法； 第三類，從3班任選一名學(xué)生，有55種不同選法． 由分類加法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為 N＝50＋60＋55＝165. (2)由題設(shè)知共有三類方案： 第一類，從1班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法； 第二類，從2班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法； 第三類，從3班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法． 由分類加法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為 N＝30＋30＋20＝80. (1)能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點： ①完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類； ②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事； ③把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)． (2)用分類加法計數(shù)原理解題應(yīng)注意以下問題： ①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算完成這件事； ②分類加法計數(shù)原理中的“分類”要全面、不能遺漏，但也不能重復(fù)、交叉； ③若完成某件事情有n類辦法，則它們兩兩的交集為空集，n類的并集為全集． [跟蹤訓(xùn)練] 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為________． [解析]　(1)解法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． 解法二：分析個位數(shù)字，可分以下幾類： 個數(shù)是9，則十位可以是1,2,3，…，8中的一個，故共有8個； 個位是8，則十位可以是1,2,3，…，7中的一個，故共有7個； 同理，個位是7的有6個； …… 個位是2的有1個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． [答案]　36 [變式] 若本題條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個． [解]　當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個． 當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個． 當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個． 同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個， 當個位數(shù)字是0時，共9個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個)． 題型二　分步乘法計數(shù)原理 思考：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？ 提示：完成這件事共有m1m2…mn種不同的方法． 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點．問： (1)點P可表示平面上多少個不同的點？ (2)點P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個不同的點？ [思路導(dǎo)引]　利用分步乘法計數(shù)原理求解，在求解過程中注意完成每一步有多少種不同方法． [解]　(1)確定平面上的點P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，有6種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，也有6種不同的結(jié)果．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到點P可表示平面上不同點的個數(shù)為66＝36. (2)確定平面上第二象限內(nèi)的點P(a，b)，可分兩步完成：第1步確定a的值，由于a<0，所以有3種不同的結(jié)果；第2步確定b的值，由于b>0，所以有2種不同的結(jié)果．由分步乘法計數(shù)原理，得到點P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)為32＝6. (1)能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點： ①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可； ②完成每一步都有若干種方法； ③把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)． (2)利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意： ①要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的； ②“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、交叉； ③若完成某件事情需n步，則必須且只需依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成． [跟蹤訓(xùn)練] 從1,2,3,4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個？ (1)三位數(shù)； (2)三位數(shù)的偶數(shù)． [解]　(1)三位數(shù)有三個數(shù)位， 故可分三個步驟完成： 第1步，排個位，從1,2,3,4中選1個數(shù)字，有4種方法； 第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，從剩下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有432＝24個滿足要求的三位數(shù)． (2)分三個步驟完成： 第1步，排個位，從2,4中選1個，有2種方法； 第2步，排十位，從余下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，只能從余下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法． 故共有232＝12個三位數(shù)的偶數(shù)． 思考：如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”？ 提示：如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步． (鏈接教材P5—例3)王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀． (1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，有多少種不同的帶法？ (2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，有多少種不同的帶法？ (3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ [思路導(dǎo)引]　解決兩個計數(shù)原理的應(yīng)用問題，首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法完成后，是否完成整件事，從而區(qū)分分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理． [解]　(1)要完成的事情是帶1本參考書，無論是帶外語書，還是帶數(shù)學(xué)書、物理書，事情都可完成，從而根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12種不同的帶法． (2)要完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有543＝60種不同的帶法． (3)選1本外語書和1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有54＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有53＝15種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1本，有43＝12種選法．即有三類情況，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有20＋15＋12＝47種不同的帶法． 對于兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題，一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標準，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏；分步時要注意步與步之間的連續(xù)性，同時應(yīng)合理設(shè)計步驟的順序，使各步互不干擾，也可以根據(jù)題意恰當合理地畫出示意圖或者列出表格，使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來，從而便于我們解題． [跟蹤訓(xùn)練] 某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種？ [解]　分兩類：第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有26＝12(種)情況； 另一類是3人全來自其余4家企業(yè)，共有4種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12＋4＝16(種)情況． 1.本節(jié)課的重點是分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，難點是兩個計數(shù)原理的靈活應(yīng)用． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)用分類加法計數(shù)原理解決有關(guān)問題，見典例1； (2)用分步乘法計數(shù)原理解決有關(guān)問題，見典例2； (3)兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，見典例3. 3．兩個原理的綜合應(yīng)用問題應(yīng)先分類后分步，分類時應(yīng)“不重不漏”，分步時要做到步驟完整，這是本節(jié)課的易錯點．