新編五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 第六節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理全國通用

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1、第六節(jié)第六節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1(20 xx重慶，10)設(shè)雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于aa2b2，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C( 2，0)(0， 2)D(， 2)( 2，)解析由題意A(a，0)，Bc，b2a，Cc，b2a，由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D(x，0)，由BDAC得b2a0cxb2aac1，解得cxb4a2（ca），所以c

2、xb4a2（ca）aa2b2ac， 所以b4a2c2a2b2b2a210ba1， 因此漸近線的斜率取值范圍是(1，0)(0，1)，選 A.答案A2(20 xx遼寧，10)已知點A(2，3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A.12B.23C.34D.43解析A(2，3)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，p22，p4，y28x，設(shè)直線AB的方程為xk(y3)2，將與y28x聯(lián)立，即xk（y3）2，y28x，得y28ky24k160， 則(8k)24(24k16)0， 即2k23k20， 解得k2或k12(舍去)，將k2 代入解得

3、x8，y8，即B(8，8)，又F(2，0)，kBF808243，故選 D.答案D3(20 xx新課標(biāo)全國，10)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為 30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為()A.3 34B.9 38C.6332D.94解析易知直線AB的方程為y33(x34)， 與y23x聯(lián)立并消去x得 4y212 3y90.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23 3，y1y294.SOAB12|OF|y1y2|1234（y1y2）24y1y23827994.故選 D.答案D4(20 xx大綱，8)橢圓C：x24y231 的左、右頂點分別為A1，A2，

4、點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是()A.12，34B.38，34C.12，1D.34，1解析如圖：設(shè)直線A2M的方程為y(x2)2x，代入橢圓方程x24y231，并整理得 7x216x40，2x167，x27，M點坐標(biāo)為27，127 .設(shè)直線A2N的方程為y2(x2)42x，同理可得N點坐標(biāo)為2619，2419 ，kA1M12727234，kA1N24192619238.直線PA1斜率的取值范圍是38，34 .答案B5(20 xx全國，10)已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線y2x4 與C交于A，B兩點，則 cosAFB等于()A.45B.35C

5、35D45解析聯(lián)立y24x，y2x4.不妨設(shè)A在x軸上方，則A(4，4)，B(1，2)F點的坐標(biāo)為(1，0)，F(xiàn)A(3，4)，F(xiàn)B(0，2)，cosAFBFAFB|FA|FB|85245.答案D6(20 xx山東，15)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為_解析由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為ybax，直線OB的方程為ybax.由ybax，x22py，得x22pbax，x2pba，y2pb2a2，A2pba，2pb2a2.設(shè)拋物線C2的焦點為F，則F0，p2 ，k

6、AF2pb2a2p22pba.OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，2pb2a2p22pbaba1，b2a254.設(shè)C1的離心率為e，則e2c2a2a2b2a215494.e32.答案327(20 xx浙江，16)定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22 到直線l：yx的距離，則實數(shù)a_.解析曲線C2到l的距離d等于圓心到直線的距離減去半徑，即d|4|2 2 2，所以曲線C1到l的距離為 2，則曲線C1與直線l不能相交，即x2ax，x2xa0.設(shè)C1：yx2a上一點為(x0，y0)，則點(x0

7、，y0)到直線l的距離d|x0y0|2x0 x20a2（x012）2a142a142 2，所以a94.答案948(20 xx浙江，19)已知橢圓x22y21 上兩個不同的點A，B關(guān)于直線ymx12對稱(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點)解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為y1mxb.由x22y21，y1mxb，消去y，得121m2x22bmxb210.因為直線y1mxb與橢圓x22y21 有兩個不同的交點，所以2b224m20，將AB中點M2mbm22，m2bm22 代入直線方程ymx12解得bm222m2由得m63或m63.(2)令t1m62，00，62

8、 ，則|AB|t212t42t232t212.且O到直線AB的距離為dt212t21.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)12|AB|d122t2122222.當(dāng)且僅當(dāng)t212時，等號成立故AOB面積的最大值為22.9(20 xx江蘇，18)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為22， 且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為 3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC2AB，求直線AB的方程解(1)由題意，得ca22且ca2c3，解得a 2，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y

9、21.(2)當(dāng)ABx軸時，AB 2，又CP3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1， 22k2 2（1k2）12k2，C的坐標(biāo)為2k212k2，k12k2， 且AB （x2x1）2（y2y1）2 （1k2） （x2x1）22 2（1k2）12k2.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為yk12k21kx2k212k2，則P點的坐標(biāo)為2，5k22k（12k2） ，從而PC2（3k21） 1k2|k|（12k2）.

10、因為PC2AB，所以2（3k21） 1k2|k|（12k2）4 2（1k2）12k2，解得k1.此時直線AB的方程為yx1 或yx1.10(20 xx天津，19)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點為F(c，0)，離心率為33，點M在橢圓上且位于第一象限， 直線FM被圓x2y2b24截得的線段的長為c， |FM|4 33.(1)求直線FM的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于 2，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍解(1)由已知有c2a213，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k0)，F(xiàn)(c，0)，則直線FM的方程

11、為yk(xc)由已知，有kck212c22b22，解得k33.(2)由(1)得橢圓方程為x23c2y22c21，直線FM的方程為y33(xc)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得 3x22cx5c20，解得x53c，或xc.因為點M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為c，2 33c.由|FM|（cc）22 33c024 33.解得c1，所以橢圓的方程為x23y221.(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，得tyx1，即yt(x1)(x1)，與橢圓方程聯(lián)立yt（x1） ，x23y221，消去y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得t62x23（x1）2 2，解得32x1，或1x0.設(shè)直線

12、OP的斜率為m，得myx，即ymx(x0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m22x223.當(dāng)x32，1時，有yt(x1)0，因此m0，于是m2x223，得m23，2 33.當(dāng)x(1，0)時，有yt(x1)0.因此m0，于是m2x223，得m，2 33.綜上，直線OP的斜率的取值范圍是，2 3323，2 33.11(20 xx北京，19)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y2 上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y221.所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a

13、2，c 2.故橢圓C的離心率eca22.(2)直線AB與圓x2y22 相切證明如下：設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因為OAOB，所以O(shè)AOB0，即tx02y00，解得t2y0 x0.當(dāng)x0t時，y0t22，代入橢圓C的方程，得t 2，故直線AB的方程為x 2.圓心O到直線AB的距離d 2.此時直線AB與圓x2y22 相切當(dāng)x0t時，直線AB的方程為y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心O到直線AB的距離d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20

14、 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此時直線AB與圓x2y22 相切12(20 xx山東，21)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|FD|.當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為 3 時，ADF為正三角形(1)求C的方程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個公共點E.()證明直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo)；()ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由解(1)由題意知Fp2，0.設(shè)D(t，0)(t0)，則FD的中點為p2t4，0.因為|FA|FD|，由拋物線的

15、定義知 3p2|tp2|，解得t3p或t3(舍去)由p2t43，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)()由(1)知F(1，0)，設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)，因為|FA|FD|，則|xD1|x01，由xD0 得xDx02，故D(x02，0)故直線AB的斜率kABy02.因為直線l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yy02xb，代入拋物線方程得y28y0y8by00，由題意64y2032by00，得b2y0.設(shè)E(xE，yE)，則yE4y0，xE4y20.當(dāng)y204 時，kAEyEy0 xEx04y0y04y20y2044y0y204，可得直線AE的方程

16、為yy04y0y204(xx0)，由y204x0，整理可得y4y0y204(x1)，直線AE恒過點F(1，0)當(dāng)y204 時，直線AE的方程為x1，過點F(1，0)，所以直線AE過定點F(1，0)()由()知直線AE過焦點F(1，0)，所以|AE|AF|FE|(x01)1x01x01x02.設(shè)直線AE的方程為xmy1，因為點A(x0，y0)在直線AE上，故mx01y0.設(shè)B(x1，y1)直線AB的方程為yy0y02(xx0)，由于y00，可得x2y0y2x0，代入拋物線方程得y28y0y84x00.所以y0y18y0，可求得y1y08y0，x14x0 x04.所以點B到直線AE的距離為d|4x

17、0 x04my08y01|1m24（x01）x04x01x0.則ABE的面積S124x01x0 x01x0216，當(dāng)且僅當(dāng)1x0 x0，即x01 時等號成立所以ABE的面積的最小值為 16.13(20 xx新課標(biāo)全國，20)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：x2a2y2b21(ab0)右焦點的直線xy 30 交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則x21a2y21b21，x22a2y22b21，y1y2x1x2

18、1，由此可得b2（x1x2）a2（y1y2）y2y1x2x11.因為P為AB的中點，且OP的斜率為12，所以x1x22x0，y1y22y0，y0 x012.所以y012x0，即y1y212(x1x2)所以可以解得a22b2，又由題意知，M的右焦點為( 3，0)，故a2b23.所以a26，b23.所以M的方程為x26y231.(2)將xy 30 代入x26y231，解得x4 33，y33或x0，y 3.所以可得|AB|4 63；由題意可設(shè)直線CD方程為yxm，所以設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，將yxm代入x26y231 得3x24mx2m260，則|CD| 2 （x3x4）24x3x44

19、39m2，又因為16m212(2m26)0，即3mb0)的一個焦點為( 5，0)，離心率為53.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點P(x0，y0)為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程解(1)由題意知c 5，eca53，a3，b2a2c24，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y241.(2)設(shè)兩切線為l1，l2，當(dāng)l1x軸或l1x軸時，l2x軸或l2x軸，可知P(3，2)；當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時，x03，設(shè)l1的斜率為k，則k0，則l2的斜率為1k，l1的方程為yy0k(xx0)，與x29y241 聯(lián)立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)

20、2360，直線與橢圓相切，0，得 9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，36k24(y0kx0)240，(x209)k22x0y0ky2040，k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的一個根，同理1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的另一個根，k1ky204x209，得x20y2013，其中x03，點P的軌跡方程為x2y213(x3)，檢驗P(3，2)滿足上式綜上：點P的軌跡方程為x2y213.3(20 xx湖北，21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M到點F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多 1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)斜率為

21、k的直線l過定點P(2，1)，求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍解(1)設(shè)點M(x，y)，依題意得|MF|x|1，即 （x1）2y2|x|1，化簡整理得y22(|x|x)故點M的軌跡C的方程為y24x，x0，0，x0.(2)在點M的軌跡C中，記C1：y24x，C2：y0(x0)依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由方程組y1k（x2） ，y24x，可得ky24y4(2k1)0.(a)當(dāng)k0 時，此時y1.把y1 代入軌跡C的方程，得x14.故此時直線l：y1 與軌跡C恰好有一個公共點14，1.(b)當(dāng)k0 時，方程的判別式為16(2k2k1)設(shè)直線l

22、與x軸的交點為(x0，0)，則由y1k(x2)，令y0，得x02k1k.()若0，x00，由解得k12.即當(dāng)k(，1)12，時，直線l與C1沒有公共點，與C2有一個公共點，故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點()若0，x00，x00，由解得k1，12 ，或k12，0.即當(dāng)k1，12 時，直線l與C1只有一個公共點，與C2有一個公共點當(dāng)k12，0時，直線l與C1有兩個公共點，與C2沒有公共點故當(dāng)k12，01，12 時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點()若0，x00，由解得1k12，或 0k0)點M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)當(dāng)x01

23、 2時，切線MA的斜率為12.(1)求p的值；(2)當(dāng)M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O)解(1)因為拋物線C1：x24y上任意一點(x，y)的切線斜率為yx2，且切線AM的斜率為12.切點A1，14 ，切線AM：y12(x1)14.因為點M(1 2，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是y012(2 2)1432 24，y0（1 2）22p32 22p.由得p2.(2)設(shè)N(x，y)，Ax1，x214 ，Bx2，x224 ，x1x2，由N為線段AB中點知xx1x22，yx21x228.切線MA、MB的方程為yx12(xx1)x214，yx22(xx2)x2

24、24.由得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標(biāo)為x0 x1x22，y0 x1x24.因為點M(x0，y0)在C2上，即x204y0，所以x1x2x21x226，由得x243y，x0.當(dāng)x1x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標(biāo)滿足x243y.因此AB中點N的軌跡方程為x243y.5.(20 xx遼寧，20)如圖橢圓C0：x2a2y2b21(ab0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2y2t21，bt1a.點A1，A2分別為C0的左，右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；(2)設(shè)動圓C2：x2y2t22與C0相交于A，B，C，D四點，其中

25、bt2a，t1t2.若矩形ABCD與矩形ABCD的面積相等，證明：t21t22為定值(1)解設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，則直線A1A的方程為yy1x1a(xa)，直線A2B的方程為yy1x1a(xa)由得，y2y21x21a2(x2a2)由點A(x1，y1)在橢圓C0上，故x21a2y21b21.從而y21b2(1x21a2)，代入得x2a2y2b21(xa，y0)即交點M的軌跡方程是x2a2y2b21(xa，yb0)，雙曲線的方程為x2m2y2n21(m0，n0)，它們的離心率分別為e1，e2，則|PF1|am，|PF2|am，在PF1F2中，4

26、c2(am)2(am)22(am)(am)cos3a23m24c2ac23mc24，則ac23mc2113 acmc21e11e2acmc4 33，當(dāng)且僅當(dāng)a3m時，等號成立 ，故選 A.答案A3(20 xx四川，10)已知F為拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OAOB2(其中O為坐標(biāo)原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2B3C.17 28D. 10解析設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假設(shè)y10，y20)和E2：y22p2x(p20)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(1

27、)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點 記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求S1S2的值(1)證明設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k1，k20)，則由yk1x，y22p1x，得A12p1k21，2p1k1，由yk1x，y22p2x，得A22p2k21，2p2k1.同理可得B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2.所以A1B12p1k222p1k21，2p1k22p1k12p11k221k21，1k21k1，A2B22p2k222p2k21，2p2k22p2k12p21k221k21，1

28、k21k1.故A1B1p1p2A2B2，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此S1S2(|A1B1|A2B2|)2.又由(1)中的A1B1p1p2A2B2知|A1B1|A2B2|p1p2.故S1S2p21p22.7(20 xx四川，20)已知橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x3 上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.()證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點)；(

29、)當(dāng)|TF|PQ|最小時，求點T的坐標(biāo)解(1)由已知可得a2b22b，2c2a2b24，解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x26y221.(2)()證明由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2，0)，設(shè)T點的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm03（2）m.當(dāng)m0 時，直線PQ的斜率kPQ1m，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0 時，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2 的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得xmy2，x26y221，消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0.所以y1y24mm23，y1y22m23，x1x2

30、m(y1y2)412m23.所以PQ的中點M的坐標(biāo)為6m23，2mm23 ，所以直線OM的斜率kOMm3.又直線OT的斜率kOTm3，所以點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.()由()可得，|TF|m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124 （44）33.當(dāng)且僅當(dāng)m214m21，即m1 時，等號成立，此時|TF|PQ|取得最小值所以當(dāng)|TF|PQ|最小時，T點的坐標(biāo)是(3，1)或(3，1)8(20 xx安徽，18)設(shè)橢圓E：x2a

31、2y21a21 的焦點在x軸上(1)若橢圓E的焦距為 1，求橢圓E的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E的左，右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1PF1Q.證明：當(dāng)a變化時，點P在某定直線上解(1)因為焦距為 1，所以 2a2114，解得a258.故橢圓E的方程為8x258y231.(2)設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c 2a21.由題設(shè)知x0c，則直線F1P的斜率kF1Py0 x0c，直線F2P的斜率kF2Py0 x0c.故直線F2P的方程為yy0 x0c(xc)當(dāng)x0 時，ycy0cx0，即點Q的坐標(biāo)為0，cy0cx0.因此，直線F1Q的斜率為kF1Qy0cx0.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Qy0 x0cy0cx01.化簡得y20 x20(2a21)將代入橢圓E的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即點 P 在定直線 xy1 上.