2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法高效演練 新人教A版選修4-5.doc

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4.1 數(shù)學(xué)歸納法 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析：當(dāng)n＝1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3. 答案：C 2．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：D 3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝＝， 猜想an＝. 答案：D 4．一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時(shí)命題成立，且由n＝k時(shí)命題成立推得當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題也成立，則(　　) A．該命題對于n＞2的自然數(shù)n都成立 B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C．該命題何時(shí)成立與k取什么值無關(guān) D．以上答案都不對 解析：由題意當(dāng)n＝2時(shí)成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此該命題對所有正偶數(shù)都成立． 答案：B 5．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸(k＋1)邊形的內(nèi)角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　) A．2π B．π C. D.π 解析：從n＝k到n＝k＋1時(shí)，內(nèi)角和增加π. 答案：B 二、填空題 6．當(dāng)f(k)＝1－＋－＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋________． 解析：f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－， 所以f(k＋1)＝f(k)＋－. 答案：－ 7．觀察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________． 解析：已知等式可寫為：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根據(jù)上述規(guī)律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. 答案：212 8．已知平面上有n(n∈N*，n≥3)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，過這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________． 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，有f(k)條直線．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，增加的第k＋1個(gè)點(diǎn)與原k個(gè)點(diǎn)共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k＋1)＝f(k)＋k. 又f(2)＝1， 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 答案：3　6　10　n 三、解答題 9．求證：1＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1，所以左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立， 即1＋＋＋…＋＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＋＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N*等式都成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝13＋51＝6，能被6整除，結(jié)論正確． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論正確，即k3＋5k能被6整除． 則(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)， 因?yàn)閗3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必為偶數(shù)，3(k＋1)(k＋2)能被6整除， 因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確． 根據(jù)(1)(2)可知，n3＋5n對于任何n∈N＋都能被6整除． B級　能力提升 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N＋)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)． 比較n＝k和n＝k＋1時(shí)等式的左邊，可知左端需乘以＝2(2k＋1)． 答案：B 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為_______________． 解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝8134k＋1＋2552k＋1＝8134k＋1＋8152k＋1－5652k＋1＝81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1 答案：81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1 3．平面內(nèi)有n(n≥2，n∈N*)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論． 解：當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝3； 當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝6. 因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N*)． 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條相交直線有一個(gè)交點(diǎn)， 又f(2)＝2(2－1)＝1. 所以n＝2時(shí)，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N*)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk. 由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)， 所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)， 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對一切n∈N*且n≥2時(shí)成立．