（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題四 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義 理（普通生含解析）.doc

重點增分專題四三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018三角函數(shù)的最值及導數(shù)T16三角函數(shù)單調(diào)性的應用T10三角函數(shù)的零點問題T152017三角函數(shù)的圖象變換T9三角函數(shù)的最值T14余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)T62016三角函數(shù)的圖象變換與對稱性T7三角函數(shù)的圖象變換T14(1)高考命題的熱點主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題(2)高考對此部分內(nèi)容主要以選擇題、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在第612或1416題位置上 三角函數(shù)的定義、誘導公式及基本關系 大穩(wěn)定1.在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，角，的終邊分別與單位圓交于點和，則sin()()AB.C D.解析：選D因為角，的終邊分別與單位圓交于點和，所以sin ，cos ，sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .2.若tan ，則sin4cos4的值為()A BC. D.解析：選Btan ，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2.3.設函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sin x當0x<時，f(x)0，則f()A. B.C0 D解析：選A由已知，得ffsin fsin sin fsin sin sin fsin sinsin 0.解題方略1同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧知弦求弦利用誘導公式及平方關系sin2cos21求解知弦求切常通過平方關系、對稱式sin cos ，sin cos ，sin cos 建立聯(lián)系，注意tan 的靈活應用知切求弦通常先利用商數(shù)關系轉(zhuǎn)化為sin tan cos 的形式，然后用平方關系求解和積轉(zhuǎn)換法如利用(sin cos )212sin cos 的關系進行變形、轉(zhuǎn)化巧用“1”的變換1sin2cos2cos2(1tan2)sin22利用誘導公式進行化簡求值的步驟利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號的確定(注意“奇變偶不變，符號看象限”)小創(chuàng)新1.設ansin，Sna1a2an，在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是()A25 B50C75 D100解析：選D當1n24時，an>0，當26n49時，an<0，但其絕對值要小于1n24時相應的值；當51n74時，an>0；當76n99時，an<0，但其絕對值要小于51n74時相應的值故當1n100時，均有Sn>0.2.某一算法程序框圖如圖所示，則輸出的S的值為()A. BC. D0解析：選A由已知程序框圖可知，該程序的功能是計算Ssin sin sin sin的值因為sin ，sin sinsin ，sin sin 0，sin sinsin ，sin sinsin ，sin sin 20，而sin sinsin ，sin sinsin ，sin sin(2)sin ，所以函數(shù)值呈周期性變化，周期為6，且sin sin sin sin sin sin 0.而2 01763361，所以輸出的S3360sin .故選A.3.九章算術是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4 m的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是()A6 m2 B9 m2C12 m2 D15 m2解析：選B如圖，由題意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，于是矢422.由ADAOsin 42，可得弦長AB2AD224.所以弧田面積(弦矢矢2)(4222)429(m2)故選B. 題型一由“圖”定“式”例1(1)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)，其部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)的圖象與x軸的一個交點到其相鄰的一條對稱軸的距離為，若f，則函數(shù)f(x)在上的最小值為()A.BC D解析(1)由題圖可知，函數(shù)圖象上兩個相鄰的最值點分別為最高點，最低點，所以函數(shù)的最大值為2，即A2.由圖象可得，x，x為相鄰的兩條對稱軸，所以函數(shù)的周期T24，故4，解得.所以f(x)2sin.把點代入可得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又0<<，所以.所以f(x)2sin，故選B.(2)由題意得，函數(shù)f(x)的最小正周期T4，解得2.因為點在函數(shù)f(x)的圖象上，所以Asin0，解得k，kZ，由0<<，可得.因為f，所以Asin，解得A，所以f(x)sin.當x時，2x，sin，f(x)的最小值為.答案(1)B(2)C解題方略由“圖”定“式”找“對應”的方法由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)Asin(x)B(A>0，>0)中參數(shù)的值，關鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參數(shù)之間的對應關系，其基本依據(jù)就是“五點法”作圖(1)最值定A，B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設最大值為M，最小值為m，則MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.(3)點坐標定：一般運用代入法求解值，注意在確定值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口，即“峰點”“谷點”與三個“中心點”題型二三角函數(shù)的圖象變換例2(1)(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得圖象的一條對稱軸的方程可能是()Ax BxCx Dx(2)(2018鄭州第一次質(zhì)量測試)若將函數(shù)f(x)3sin(2x)(0<<)圖象上的每一個點都向左平移個單位長度，得到g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析(1)依題意知，將函數(shù)f(x)sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得函數(shù)g(x)sin的圖象令xk，kZ，得x2k，kZ，當k0時，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為x，故選D.(2)由題意知g(x)3sin3sin，因為g(x)是奇函數(shù)，所以k(kZ)，即k(kZ)，又0<<，所以，所以g(x)3sin(2x) 3sin 2x，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)故選A.答案(1)D(2)A解題方略關于三角函數(shù)的圖象變換的方法沿x軸沿y軸平移變換由yf(x)變?yōu)閥f(x)時，“左加右減”，即>0，左移；<0，右移由yf(x)變?yōu)閥f(x)k時，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移伸縮變換由yf(x)變?yōu)閥f(x)時，點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋队蓎f(x)變?yōu)閥Af(x)時，點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膢A|倍 增分考點講練沖關典例(1)(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()Af(x)的最小正周期為，最大值為3Bf(x)的最小正周期為，最大值為4Cf(x)的最小正周期為2，最大值為3Df(x)的最小正周期為2，最大值為4(2)設函數(shù)f(x)cos(x)(<<0)若f(x)f(x)是偶函數(shù)，則等于()A.BC. D(3)(2018昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)sin x的圖象關于點對稱，且f(x)在上為增函數(shù)，則()A. B3C. D6(4)(2018全國卷)若f(x)cos xsin x在0，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B.C. D解析(1)f(x)2cos2xsin2x21cos 2x2cos 2x，f(x)的最小正周期為，最大值為4.故選B.(2)f(x)f(x)cos(x)sin(x)2cos.根據(jù)誘導公式，要使f(x)f(x)為偶函數(shù)，則k(kZ)，所以k0時，故選B.(3)因為函數(shù)f(x)sin x的圖象關于對稱，所以k(kZ)，即k(kZ)又函數(shù)f(x)sin x在區(qū)間上是增函數(shù)，所以且>0，所以0<2.由得，故選A.(4)法一：f(x)cos xsin xsin x，當x，即x時，ysin單調(diào)遞增，f(x)sin單調(diào)遞減，是f(x)在原點附近的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合條件得0，a，a，即amax.故選C.法二：f(x)sin xcos xsin.于是，由題設得f(x)0，即sin0在區(qū)間0，a上恒成立當x0，a時，x，所以a，即a，故所求a的最大值是.故選C.答案(1)B(2)B(3)A(4)C解題方略1求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)代換法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，為常數(shù)，A0，>0)的單調(diào)區(qū)間時，令xz，得yAsin z(或yAcos z)，然后由復合函數(shù)的單調(diào)性求得(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間2判斷對稱中心與對稱軸的方法利用函數(shù)yAsin(x)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點這一性質(zhì)，通過檢驗f(x0)的值進行判斷3求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小 正周期為.(2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期；正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期多練強化1若函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的圖象關于中心對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是()A1 BC D解析：選Bf(x)2sin，又圖象關于中心對稱，所以2k(kZ)，所以k(kZ)，又0<<，所以，所以f(x)2sin 2x，因為x，所以2x，f(x)，2，所以f(x)的最小值是.2(2018濟南模擬)已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且ff(x)，則()Af(x)在上單調(diào)遞減Bf(x)在上單調(diào)遞增Cf(x)在上單調(diào)遞增Df(x)在上單調(diào)遞減解析：選D因為f(x)sin(x)cos(x)2sin的最小正周期為，所以，所以2.因為ff(x)，所以直線x是f(x)圖象的一條對稱軸，所以2k，kZ，所以k，kZ，因為|<，所以，所以f(x)2sin.當x時，2x，f(x)先增后減，當x時，2x，f(x)單調(diào)遞減故選D.3(2018北京高考)已知函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值解：(1)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，所以f(x)的最小正周期為T.(2)由(1)知f(x)sin.由題意知xm，所以2x2m.要使f(x)在區(qū)間上的最大值為，即sin在區(qū)間上的最大值為1.所以2m，即m.所以m的最小值為. 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用 典例已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2sin2x(>0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)在0，b(b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值解(1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期為，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)2sin 2x1的圖象，所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有兩個零點，若yg(x)在0，b上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可所以b的最小值為4.解題方略解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的思路(1)先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B(一角一函數(shù))的形式；(2)把“x”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性、奇偶性、最值、對稱性等問題多練強化(2017山東高考)設函數(shù)f(x)sinsin，其中0<<3.已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值解：(1)因為f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.因為f0，所以k，kZ.故6k2，kZ.又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因為x，所以x，當x，即x時，g(x)取得最小值.直觀想象數(shù)形結(jié)合法在三角函數(shù)圖象問題中的應用典例函數(shù)f(x)sin(x)>0，|<的圖象如圖所示，為了得到g(x)cos的圖象，則只需將f(x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度解析根據(jù)函數(shù)f(x)sin(x)的部分圖象知，T，即，解得2.根據(jù)“五點作圖法”并結(jié)合|<，可知2，解得，f(x)sin.g(x)cossinsin.故為了得到g(x)的圖象，只需將f(x)的圖象向左平移個單位長度即可答案A素養(yǎng)通路本題利用圖形描述數(shù)學問題，通過對圖形的理解，由圖象建立形與數(shù)的聯(lián)系，確定函數(shù)的周期，根據(jù)“五點作圖法”代入數(shù)據(jù)求參數(shù)考查了直觀想象這一核心素養(yǎng)A組“633”考點落實練一、選擇題1(2018全國卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B.C D2解析：選C由已知得f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期為T.2.(2018貴陽第一學期檢測)已知函數(shù)f(x)Asin(x)>0，<<的部分圖象如圖所示，則的值為()A B.C D.解析：選B由題意，得，所以T，由T，得2，由圖可知A1，所以f(x)sin(2x)又fsin0，<<，所以.3(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos(x)(0<<)在x時取得最小值，則f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.解析：選A因為0<<，所以<<，又f(x)cos(x)在x時取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選A.4函數(shù)f(x)sin的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關于x對稱，則g(x)具有的性質(zhì)是()A最大值為1，圖象關于直線x對稱B在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)C在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D周期為，圖象關于點對稱解析：選B由題意得，g(x)sinsin(2x)sin 2x，最大值為1，而g0，圖象不關于直線x對稱，故A錯誤；當x時，2x，滿足單調(diào)遞減，顯然g(x)也是奇函數(shù)，故B正確，C錯誤；周期T，g，故圖象不關于點對稱，故D錯誤5(2019屆高三安徽知名示范高中聯(lián)考)先將函數(shù)y2sin1的圖象向左平移個最小正周期的單位長度，再向下平移1個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D不能確定解析：選B因為函數(shù)y2sin1，所以其最小正周期T，所以將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，所得的圖象對應的函數(shù)解析式為y2sin12sin12sin12cos 2x1，再將圖象向下平移1個單位長度后所得的圖象對應的函數(shù)解析式為y2cos 2x，該函數(shù)為偶函數(shù)，故選B.6(2018廣州高中綜合測試)已知函數(shù)f(x)sinx(>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選B法一：因為x，所以x，因為函數(shù)f(x)sin(>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以即又>0，所以0<，選B.法二：取1，fsinsin <0，fsinsin 1，fsinsin ，不滿足題意，排除A、C、D，選B.二、填空題7(2018惠州調(diào)研)已知tan ，且，則cos_.解析：法一：cossin ，由知為第三象限角，聯(lián)立得5sin21，故sin .法二：cossin ，由知為第三象限角，由tan ，可知點(2，1)為終邊上一點，由任意角的三角函數(shù)公式可得sin .答案：8已知函數(shù)f(x)sin(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點為P，在原點右側(cè)與x軸的第一個交點為Q，則f的值為_解析：由題意得，所以T，所以2，將點P代入f(x)sin(2x)，得sin1，所以2k(kZ)又|<，所以，即f(x)sin(xR)，所以fsin.答案：9已知函數(shù)f(x)cos，其中x，m，若f(x)的值域是，則m的最大值是_解析：由x，可知3x3m，fcos ，且fcos 1，要使f(x)的值域是，需要3m，即m，即m的最大值是.答案：三、解答題10(2018石家莊模擬)函數(shù)f(x)Asinx1(A>0，>0)的最小值為1，其圖象相鄰兩個最高點之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設，f2，求的值解：(1)函數(shù)f(x)的最小值為1，A11，即A2.函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為，函數(shù)f(x)的最小正周期T，2，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin1.(2)f2sin12，sin.0<<，<<，得.11已知m，n(cos x,1)(1)若mn，求tan x的值；(2)若函數(shù)f(x)mn，x0，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)由mn得，sincos x0，展開變形可得，sin xcos x，即tan x.(2)f(x)mnsincos x1sin xcos xcos2x1sin 2x1sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.又x0，所以當x0，時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.12已知函數(shù)f(x)cos x(2sin xcos x)sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若當x時，不等式f(x)m有解，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x22sin，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T.(2)由題意可知，不等式f(x)m有解，即mf(x)max，因為x，所以2x，故當2x，即x時，f(x)取得最大值，且最大值為f2.從而可得m2.所以實數(shù)m的取值范圍為(，2B組大題專攻補短練1已知向量m(2sin x，sin x)，n(cos x，2sin x)(>0)，函數(shù)f(x)mn，直線xx1，xx2是函數(shù)yf(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1x2|的最小值為.(1)求的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)因為向量m(2sin x，sin x)，n(cos x，2sin x)(>0)，所以函數(shù)f(x)mn2sin xcos xsin x(2sin x)sin 2x2sin2x sin 2xcos 2x2sin.因為直線xx1，xx2是函數(shù)yf(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1x2|的最小值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2，即，得1.(2)由(1)知，f(x)2sin，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)2.已知函數(shù)f(x)sin 2xcos4xsin4x1(0<<1)，若點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心(1)求f(x)的解析式，并求距y軸最近的一條對稱軸的方程；(2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的圖象解：(1)f(x)sin 2x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)1sin 2xcos 2x12sin1.點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，k，kZ，3k，kZ.0<<1，k0，f(x)2sin1.由xk，kZ，得xk，kZ，令k0，得距y軸最近的一條對稱軸方程為x.(2)由(1)知，f(x)2sin1，當x，時，列表如下：x0xf(x)011310則函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的圖象如圖所示3(2018山東師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)說明函數(shù)yf(x)的圖象可由函數(shù)ysin 2xcos 2x的圖象經(jīng)過怎樣的平移變換得到；(3)若方程f(x)m在上有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍解：(1)由題圖可知，A2，T4，2，f(x)2sin(2x)，f0，sin0，k，kZ，即k，kZ.|，f(x)2sin.(2)ysin 2xcos 2x2sin2sin，故將函數(shù)ysin 2xcos 2x的圖象向左平移個單位長度就得到函數(shù)yf(x)的圖象(3)當x0時，2x，故2f(x)，若方程f(x)m在上有兩個不相等的實數(shù)根，則曲線yf(x)與直線ym在上有2個交點，結(jié)合圖形，易知2m.故m的取值范圍為(2，4已知函數(shù)f(x)sin(x)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為，且在x時取得最大值1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當x時，若方程f(x)a恰好有三個根，分別為x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范圍解：(1)由題意，T2，故2，所以sinsin1，所以2k，kZ，所以2k，kZ.因為0，所以，所以f(x)sin.(2)畫出該函數(shù)的圖象如圖，當a<1時，方程f(x)a恰好有三個根，且點(x1，a)和(x2，a)關于直線x對稱，點(x2，a)和(x3，a)關于直線x對稱，所以x1x2，x3<，所以x1x2x3<，故x1x2x3的取值范圍為.