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重點增分專題十五 不等式選講
[全國卷3年考情分析]
年份
全國卷Ⅰ
全國卷Ⅱ
全國卷Ⅲ
2018
含絕對值不等式的解法及絕對值不等式恒成立問題
含絕對值不等式的解法及絕對值不等式恒成立問題
含絕對值函數(shù)的圖象與絕對值不等式恒成立問題
2017
含絕對值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍
基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法
含絕對值不等式的解法、函數(shù)最值的求解
2016
含絕對值不等式的解法、分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
含絕對值不等式的解法、比較法證明不等式及應(yīng)用
含絕對值不等式的解法、絕對值不等式的性質(zhì)
(1)不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法等，命題的熱點是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解．
(2)此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用．
含絕對值不等式的解法 保分考點練后講評
1.解不等式|x＋3|<|2x－1|.
解：由已知，可得|x＋3|<|2x－1|，
即|x＋3|2<|2x－1|2，
∴3x2－10x－8>0，解得x<－或x>4.
故所求不等式的解集為∪(4，＋∞)．
2.(2018全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝
當x<－1時，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1；
當－1≤x≤2時，顯然滿足題意；
當x>2時，由－2x＋6≥0，解得2
a?x<－a或x>a.
(2)平方法：兩邊平方去掉絕對值符號．
(3)零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解．
(4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離求解．
(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解.
保分考點練后講評
1.已知f(x)＝|x－1|＋|x|，且α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求證：＋≥.
證明：因為α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，
所以α＋β＝2.
所以＋＝(α＋β)
＝≥＝，
當且僅當α＝2β＝時取等號．
2.已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
解：(1)由題意，|x＋1|<|2x＋1|－1，
①當x≤－1時，
不等式可化為－x－1＜－2x－2，
解得x＜－1；
②當－1＜x＜－時，
不等式可化為x＋1＜－2x－2，
此時不等式無解；
③當x≥－時，
不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1.
綜上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．
(2)證明：因為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以要證f(ab)＞f(a)－f(－b)，
只需證|ab＋1|＞|a＋b|，
即證|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即證a2b2－a2－b2＋1＞0，
即證(a2－1)(b2－1)＞0.
因為a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．
3.已知a，b∈R，且a＋b＝1，求證：(a＋2)2＋(b＋2)2≥.
證明：法一：(放縮法)因為a＋b＝1，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥22＝[(a＋b)＋4]2＝當且僅當a＋2＝b＋2，即a＝b＝時，等號成立．
法二：(反證法)假設(shè)(a＋2)2＋(b＋2)2<，
則a2＋b2＋4(a＋b)＋8<.
因為a＋b＝1，則b＝1－a，所以a2＋(1－a)2＋12<.
所以2<0，這與2≥0矛盾，故假設(shè)不成立．所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥.
[解題方略] 證明不等式的常用方法
不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等．
(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，則考慮用分析法．
(2)利用放縮法證明不等式，就是舍掉式中的一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，還可把和式中各項或某項換為較大或較小的數(shù)或式子，從而達到證明不等式的目的．
(3)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用反證法．用反證法證明不等式的關(guān)鍵是作出假設(shè)，推出矛盾.
與絕對值不等式有關(guān)的最值問題
[析母題]
[典例] 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當a<2時，函數(shù)f(x)的最小值為a－1，求實數(shù)a的值．
[解] (1)f(x)＋|x－1|≥2可化為＋|x－1|≥1.
∵＋|x－1|≥，
∴≥1，
∴a≤0或a≥4，
∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞)．
(2)當a<2時，易知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零點分別為和1，且<1，
∴f(x)＝
易知f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝，又<2，∴a＝.
[練子題]
1．在本例條件下，若f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求a的取值范圍．
解：由題意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，
當x∈時，f(x)＝|2x－a|＋|x－1|
＝|2x－a|＋x－1≤|x＋1|＝x＋1，
∴|2x－a|≤2，即2x－2≤a≤2x＋2，
∴(2x－2)max＝4，
(2x＋2)min＝5，
因此a的取值范圍為[4,5]．
2．函數(shù)f(x)不變，若存在實數(shù)x，使不等式f(x)－3|x－1|≥2能成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：∵f(x)－3|x－1|＝|2x－a|－2|x－1|
＝|2x－a|－|2x－2|≤|a－2|.
∴|a－2|≥2.
∴a≤0或a≥4.
∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞)．
[解題方略]
解決不等式恒成立、能成立、恰成立問題的策略
不等式恒成立問題
不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，等價于在區(qū)間D上f(x)min>A.
不等式f(x)A成立，等價于在區(qū)間D上f(x)max>A.
在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A在區(qū)間D上恰成立，等價于不等式f(x)>A的解集為D.
不等式f(x)1的解集；
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集為.
(2)當x∈(0,1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax－1|<1成立．
若a≤0，則當x∈(0,1)時，|ax－1|≥1；
若a>0，則|ax－1|<1的解集為，
所以≥1，故00，
所以|4ab－1|>2|b－a|.
4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.
(1)求＋的最小值．
(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥＋成立，求實數(shù)x的取值范圍．
解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，
又因為＋＝(a＋2b)＝＋＋4，
由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2＋4＝8，
當且僅當a＝2b時取等號，所以＋的最小值為8.
(2)由(1)及題意知不等式等價于|x－1|＋|2x－3|≥8，
①所以x≤－.
②無解，
③所以x≥4.
綜上，實數(shù)x的取值范圍為∪[4，＋∞)．
5．(2018全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)畫出y＝f(x)的圖象；
(2)當x∈[0，＋∞)時，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的圖象如圖所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5.
6．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，
f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；
當－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設(shè)可得f(x)＝
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
所以△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
7．(2018鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.
當x<－時，即－3x－2－x＋1<4，
解得－1時，即3x＋2＋x－1<4，無解．
綜上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
當且僅當m＝n＝時等號成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
所以x＝－時，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即00，b>0)的最小值為1.
(1)求a＋b的值；
(2)若m≤＋恒成立，求實數(shù)m的最大值．
解：(1)f(x)＝
則f(x)在區(qū)間(－∞，－b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－b，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)min＝f(－b)＝a＋b，所以a＋b＝1.
(2)因為a>0，b>0，且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝3＋＋，
又3＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當＝時，等號成立，
所以當a＝－1，b＝2－時，＋有最小值3＋2.
所以m≤3＋2，所以實數(shù)m的最大值為3＋2.
（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題十五 不等式選講講義 理（普通生含解析）（選修4－5）.doc
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