現(xiàn)代控制理論答案劉豹唐萬(wàn)生第三版

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1、第一章答案 1-1 試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下： 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： 阿 令，則 所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為 1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。 解：由圖，令，輸出量 有電路原理可知： 既得 寫成矢量矩陣形式為： 1-4 兩輸入，，兩輸出，的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。 解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)

2、式如下所示： 1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述 列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 解：令，則有 相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下： 1-6 （2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù),試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 解： 1-7 給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式 ‘ （1） 畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖 （2） 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解： （2） 1-8 求下列矩陣的特征矢量 （3） 解：A的特征方程 解之得： 當(dāng)時(shí)， 解得： 令 得 （或令，得） 當(dāng)時(shí)， 解得：

3、 令 得 （或令，得） 當(dāng)時(shí)， 解得： 令 得 1-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解） （2） 解：A的特征方程 當(dāng)時(shí)， 解之得 令 得 當(dāng)時(shí)， 解之得 令 得 當(dāng)時(shí)， 解之得 令 得 約旦標(biāo)準(zhǔn)型 第二章習(xí)題答案 2-4 用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)。 （2） A= 解：第一種方法： 令 則 ，即。 求解得

4、到， 當(dāng)時(shí)，特征矢量 由 ，得 即，可令 當(dāng)時(shí)，特征矢量 由，得 即 ，可令 則， 第二種方法，即拉氏反變換法： 第三種方法，即凱萊—哈密頓定理 由第一種方法可知， 2-5 下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)的A陣。 （3） （4） 解：（3）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 （4）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 2-6 求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解： 初始狀態(tài)，輸入時(shí)單位階躍函數(shù)。 解：

5、因?yàn)? ， 2-9 有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T=0.1s和1s，而和為分段常數(shù)。 圖2.2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖 列出狀態(tài)方程 則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為 由和得： 當(dāng)T=1時(shí) 當(dāng)T=0.1時(shí)

6、 第三章習(xí)題 3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？ （1）系統(tǒng)如圖3.16所示： 解：由圖可得： 狀態(tài)空間表達(dá)式為： 由于、、與無(wú)關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。 （3）系統(tǒng)如下式： 解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有。 要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0，故有。 3-2時(shí)不變系統(tǒng) 試用兩種方法判別其能控性和能觀性。

7、 解：方法一： 方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。 ， 中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。中沒(méi)有全為0的列，系統(tǒng)可觀。 3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù) 解：構(gòu)造能控陣： 要使系統(tǒng)完全能控，則，即 構(gòu)造能觀陣： 要使系統(tǒng)完全能觀，則，即 3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 （1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？ （2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。 （3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：(1) 方法1 ： 系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s

8、)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。 方法2： 系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。 （2）當(dāng)a=1, a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型 （3）根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=1, a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為 3-6已知系統(tǒng)的微分方程為： 試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。 解： 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 傳遞函數(shù)為 其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 傳遞函數(shù)為 3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀

9、標(biāo)準(zhǔn)型。 解： 系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為 能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為 3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。 解： 3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解 （1） 解： rankM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。 構(gòu)造奇異變換陣：，其中是任意的，只要滿足滿秩。 即 得 3-12 試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 （1） 解： 由已知得 則有 rank N=2<3，該系統(tǒng)不能觀 構(gòu)造非奇異變換矩陣，有 則 3-13 試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 （1） 現(xiàn)代控制理論第

10、四章習(xí)題答案 4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)： （1） （2） 解：（1）由已知得 ，， 因此是負(fù)定的 （2）由已知得 ，， 因此不是正定的 4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。 解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。 即： 有解，且解具有負(fù)實(shí)部。 即： 方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于。 取，令，則帶入，得到 若 ，則此方程組有唯一解。即 其中 要求正定，則要求 因此，且 4-3試用lyapunov第

11、二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。 （1） （2） 解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。 （2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。 4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有： 取 很明顯，的符號(hào)無(wú)法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。 4-9設(shè)非線性方程： 試用克拉索夫斯基法確

12、定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。 解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有： ，有。 取 則 ，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有： ，的符號(hào)無(wú)法判斷。 （2）李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數(shù)為，則 是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。 4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù) 解：假設(shè)的梯度為： 計(jì)算的導(dǎo)數(shù)為： 選擇參數(shù)，試選，于是得： ，顯然滿足旋度方程，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有： 如果，則是負(fù)定的，因此，是的約束條件。 計(jì)算得到為： 是正定的，因此在范圍內(nèi)，是漸進(jìn)穩(wěn)定的?，F(xiàn)代控制理論第五章習(xí)題答案 5-1已

13、知系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。 解：依題意有： ，系統(tǒng)能控。 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有。 引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，其中矩陣，設(shè)，則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為： 比較各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：則有：。 5-3有系統(tǒng)： （1） 畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。 （2） 若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？ （3） 若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。 解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下： （2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系

14、統(tǒng)完全能控。 對(duì)于系統(tǒng)有： ，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。 （3）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有。 引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，設(shè)，則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為： 比較各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：。 5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試問(wèn)能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成 若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 解： 由于傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。 能控標(biāo)準(zhǔn)I型為 令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 由于狀態(tài)反饋不改變

15、系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為-2，-2，-3，得期望特征多項(xiàng)式為 比較與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得 即 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下： 5-5使判斷下列系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。 （1） 解：系統(tǒng)的能控陣為： ，系統(tǒng)能控。 由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。又由于，系統(tǒng)能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。 5-7設(shè)計(jì)一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使系統(tǒng) 解耦，且解耦后的極點(diǎn)為。 解： 5-10已知系統(tǒng)： 試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的極點(diǎn)為-r，-2r(r>0)。 解：因?yàn)闈M秩，系統(tǒng)能觀，可構(gòu)造觀測(cè)器。 系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，所以有 于是 引入反饋陣，使得觀測(cè)器特征多項(xiàng)式： 根據(jù)期望極點(diǎn)得期望特征式： 比較與各項(xiàng)系數(shù)得： 即，反變換到x狀態(tài)下 觀測(cè)器方程為：