2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題04 函數(shù)的定義域、值域的求法.doc

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專題04 函數(shù)的定義域、值域的求法 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 函數(shù)的定義域作為函數(shù)的要素之一，是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，也是高考的熱點(diǎn).函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且值域問題通常會(huì)滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分.所以在掌握定義域求法的基礎(chǔ)上，掌握一些求值域的基本方法，當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解析式的特點(diǎn)，尋找對(duì)應(yīng)的方法從容解決. （一）函數(shù)的定義域 1.求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是：①分式的分母不能為零；②偶次方根的被開方式其值非負(fù)；③對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1. 2.①若的定義域?yàn)?，則不等式的解集即為函數(shù)的定義域； ②若的定義域?yàn)?，則函數(shù)在上的的值域即為函數(shù)的定義域． 3.對(duì)于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題，應(yīng)依據(jù)已知條件準(zhǔn)確找出利用哪一段求解. 4.與定義域有關(guān)的幾類問題 第一類是給出函數(shù)的解析式，這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍； 第二類是實(shí)際問題或幾何問題，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問題有意義； 第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由的定義域確定函數(shù)的定義域或由的定義域確定函數(shù)的定義域． 第四類是已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決． （二）函數(shù)的值域 1.利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍. 3.利用三角函數(shù)的有界性,如. 4.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法. 一般地， ① ：換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型 ② ：換元→分離常數(shù)→模型 ③ ：同時(shí)除以分子：→②的模型 ④ ：分離常數(shù)→③的模型 共同點(diǎn)：讓分式的分子變?yōu)槌?shù) 5.利用換元法: 在高中階段，與指對(duì)數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常見的復(fù)合函數(shù)分為兩種： ① ：此類問題通常以指對(duì)，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍. ② ：此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可. ③形如型,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法: 7.導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域 8.分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值．若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．?dāng)?shù)形結(jié)合法也可很方便的計(jì)算值域. 9.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部 分剔除. 10.數(shù)形結(jié)合法：即作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合. （1）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該 函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域. （2）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式→兩點(diǎn)間距離公式. （三）常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時(shí)，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸. （1）一次函數(shù)（）：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點(diǎn)來確定值域. （2）二次函數(shù)（），給定區(qū)間.二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對(duì)稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解.（關(guān)鍵點(diǎn)：①拋物線開口方向，②頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）. （3）反比例函數(shù)： （1）圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 （2）當(dāng) ，當(dāng). （4）對(duì)勾函數(shù)： ① 解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1； 注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與相關(guān)，求的值時(shí)要先保證的系數(shù)為，再去確定的值 例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得 ② 極值點(diǎn)： ③ 極值點(diǎn)坐標(biāo)： ④ 定義域： ⑤ 自然定義域下的值域： （5）函數(shù)： 注意與對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行對(duì)比 ① 解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1； ② 函數(shù)的零點(diǎn)： ③ 值域： （5）指數(shù)函數(shù)（）：其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)? （6）對(duì)數(shù)函數(shù)（）其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)? 【經(jīng)典例題】 例1【2017山東理】設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?則（ ） （A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1) 【答案】D 【解析】試題分析：由得，由得，故，選D. 例2【2018屆湖南省邵陽市高三上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù) ，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的定義域?yàn)?故,所以選B. 例3【2018屆河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次質(zhì)量考評(píng)】已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】有最小值 故選 例4【2018屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?，則稱為“倍縮函數(shù)”．若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. （﹣∞，ln2﹣1） B. （﹣∞，ln2﹣1] C. （1﹣ln2，+∞） D. [1﹣ln2，+∞） 【答案】C 令g′（x）＞0，解得：x＞2， 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故g（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增， 故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2， 故選C：． 【名師點(diǎn)睛】由于函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等，都可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決 例5.已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)在坐標(biāo)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可畫出圖象如圖1所示． ； 故選：C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題，值域是確定的，而定義域是變動(dòng)的，解題關(guān)鍵是分辨清楚最大值是在左端點(diǎn)取到還是在右端點(diǎn)取到，問題就迎刃而解了. 例6.（1）函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A. B. C. D. （2）函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A. B. C. D. （3）函數(shù)的值域?yàn)開_______ 【答案】（1）D （2）B （3）. 【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但的導(dǎo)數(shù)較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而求得最值 令即解不等式： 【名師點(diǎn)睛】本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到，從而可設(shè)，由可知，所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，從而有，由可求得.由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題 （2）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑥亩l(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)的解析式為，觀察可得為增函數(shù)，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進(jìn)作用.所以在求函數(shù)的值域時(shí)，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域. ② 本題也可用換元法，設(shè)后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性求解簡便。 （3）先確定函數(shù)的定義域：，為分式且含有根式，求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜.觀察分子分母可知：且關(guān)于單減，且關(guān)于單增，即單減，所以為減函數(shù)，由可知的值域?yàn)?. 【名師點(diǎn)睛】在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增→增”，那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法，例如，則當(dāng)均為增（減）函數(shù)，且恒大于0，才能得到為增（減）函數(shù). 例7：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A. B. C. D. （2）函數(shù)的值域?yàn)開________ 【答案】（1）D （2） 解：由可得: 函數(shù)的定義域?yàn)? 的取值只需讓方程有解即可 當(dāng)時(shí)，不成立，故舍去 當(dāng)時(shí)， 即： 綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】① 對(duì)于二次分式，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t可像本例這樣利用方程思想，將值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到關(guān)于的不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法” ② 若函數(shù)的定義域不是，而是一個(gè)限定區(qū)間（例如），那么如果也想按方程的思想處理，那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為：“取何值時(shí)，方程在有根”，對(duì)于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴}，但因?yàn)橹灰匠逃懈托校瑫?huì)按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解決（詳見附） （2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域 解：的定義域?yàn)? 且 ，即，其中 因?yàn)樵摲匠逃薪? 【名師點(diǎn)睛】本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為連線斜率的問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關(guān)，不過因?yàn)?，所以均能保證只要在中，則必有解。但如果本題對(duì)的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便 例8.設(shè)且，函數(shù)在的最大值是14，求的值． 【答案】 考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中解答中涉及到一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題的解得中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 例9【2018屆山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期9月月考】已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)求的值域. 【答案】(1) 是奇函數(shù)（2） ，，的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用定義證明函數(shù)奇偶性，利用分離常數(shù)求分式型函數(shù)的值域問題，考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題. 例10【2018屆安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考高三上學(xué)期期中】已知是定義在上的奇函數(shù). （1）若，求的值; （2）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間的值域. 【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3]. 【解析】試題分析：（1）由奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由可得； （2）由是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，得a=-2，進(jìn)而得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求值域即可. 試題解析： （1） 由 f(x)為奇函數(shù)，則(b-3)+(b-1)=0，解得b=2， 【名師點(diǎn)睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好三個(gè)問題： （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件； （2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式； （3）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱. 【精選精練】 1．【2018屆二輪同步（高考題）】下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是( ) A. y＝x B. y＝lg x C. y＝2x D. y＝ 【答案】D 【解析】y＝10lgx＝x，定義域與值域均為(0，＋∞)，只有D滿足，故選D. 2．【2019屆高考一輪】已知集合A=,B={y|y=},則A∩(?RB)=(　　) A. [-3,5] B. (-3,1) C. (-3,1] D. (-3,+∞) 【答案】C 【解析】由≤0，解得31． ∴B={y|y>1}． ∴?RB={y|y≤1}． ∴A∩(?RB)={x|30)；③y＝x2＋2x－10；④y＝，其中定義域與值域相同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 8．【2018屆江西省高三監(jiān)測】函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在使得在上的值域?yàn)?，則稱函數(shù)為“成功函數(shù)”.若函數(shù)（其中，且）是“成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查方程解的個(gè)數(shù)問題，利用變量分離的方法，把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題，通過換元的手段把問題歸結(jié)為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題. 9．【2018屆北京西城31中高三上期中】若，則定義域__________． 【答案】 【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，故的定義域?yàn)?，故答案? 10．【2018屆南京市、鹽城市高三一?！吭O(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________． 【答案】 【解析】因?yàn)閍,所以 11．【2018屆北京市西城區(qū)高三期末】已知函數(shù) 若，則的值域是____；若的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____． 【答案】 12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若其值域也為，則稱區(qū)間為的保值區(qū)間，若的保值區(qū)間是，則的值為__________. 【答案】1 【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，若其值域也為? 則稱區(qū)間為的保值區(qū)間． 又∵的保值區(qū)間是， ∴定義域?yàn)?，值域也為? ∵， ， ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． ∴在單調(diào)遞增．