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考點47 點與圓的位置關系
要點闡述
點與圓的位置關系
點與圓有三種位置關系，即點在圓外、點在圓上、點在圓內，判斷點與圓的位置關系有兩種方法：
（1）幾何法：將所給的點M與圓心C的距離跟半徑r比較：
若|CM|＝r，則點M在圓上；
若|CM| ＞r，則點M在圓外；
若|CM|＜r，則點M在圓內．
（2）代數法：可利用圓C的標準方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2來確定：
點M（m，n）在圓C上?（m－a）2＋（n－b）2＝r2；
點M（m，n）在圓C外?（m－a）2＋（n－b）2＞r2；
點M（m，n）在圓C內?（m－a）2＋（n－b）2＜r2．
典型例題
【例】已知點（2，0）和（x–2）2+（y+1）2=3，則點與圓的位置關系是____．
【答案】點在圓的內部
【規(guī)律方法】判斷點與圓的位置關系的常用方法有兩種：一種是利用圓心與已知點的距離d與r的大小關系．當d>r時，點在圓外，當d=r時，點在圓上，當d
r2時，點在圓外，當（x0–a）2 +（y0–b）2=r2時，點在圓上，當（x0–a）2 +（y0–b）224．
2．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4上，則a的值是( )
A．－1 B．1
C．1 D．0
【答案】C
【解析】由題意得(1－a)2＋(1＋a)2＝4，解得a＝1．
3．若點(4a－1,3a＋2)不在圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，則a的取值范圍是( )
A．－0）過原點，則a，b，r應滿足的條件是_________．
【答案】a2+b2=r2
【解析】過原點，a2+b2=r2
5．已知點A（l，2）不在圓C：（x–a）2+（y+a）2=2a2的內部，則實數a的取值范圍_________．
【答案】
【易錯易混】當圓的標準方程的右端含有字母時，不能忽略隱含條件．
6．已知兩點P（–5，6）和Q（5，–4），求以P，Q為直徑端點的圓的標準方程，并判斷點A（2，2），B（1，8），C（6，5）是在圓上，在圓內，還是在圓外．
【解析】由已知條件及圓的性質可知，圓心M在直徑PQ的中點處，
圓心M的坐標為（0，1）， 半徑r==
圓的標準方程為x2+（y–1）2 =50． 點A在圓內．
點B在圓上．
點C在圓外．
圓的標準方程為x2+（y–1）2=50．點A在圓內，點B在圓內，點C在圓外．
【解題反思】（1）求圓的方程，只需確定圓心和半徑就可以寫出其標準方程．
（2）判定點與圓的位置關系，即判定該點與圓心的距離和圓的半徑的大小關系．
考題速遞
1．已知圓的方程是（x–2）2+（y–3）2 =4，則點P（3，2） （ ）
A．是圓心 B．在圓上
C．在圓內 D．在圓外
【答案】C
【解析】圓心為（2，3），點P到圓心的距離為d= ，
點P在圓內．
2．若點(1,0)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝5上，則圓的圓心 ．
【答案】（2，–2）或（–1，1）
【解析】由題意得(1－a)2＋a2＝5，解得a＝2或a=–1．圓心為（2，–2）或（–1，1）
3．平面直角坐標系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,a)四點，若這四點共圓，則a= ．
【答案】a=2或a=4．
4．已知兩點P（–5，6）和Q（5，–4），求以P，Q為直徑端點的圓的標準方程，并判斷點A（2，2），B（1，8），C（6，5）是在圓上，在圓內，還是在圓外．
數學文化
石磨
魯班是中國古代一位優(yōu)秀的創(chuàng)造發(fā)明家．他生活在春秋末期，叫公輸般，因為他是魯國人，所以又叫魯班．據說他發(fā)明了木工用的鋸子、刨子、曲尺等．他還用他的智慧，解決了人們生活中的不少問題．在魯班生活的時代，人們要吃米粉、麥粉，都是把米麥放在石臼里，用粗石棍來搗．用這種方法很費力，搗出來的粉有粗有細，而且一次搗得很少．魯班想找一種用力少收效大的方法．就用兩塊有一定厚度的扁圓柱形的石頭制成磨扇．下扇中間裝有一個短的立軸，用鐵制成，上扇中間有一個相應的空套，兩扇相合以后，下扇固定，上扇可以繞軸轉動．兩扇相對的一面，留有一個空膛，叫磨膛，膛的外周制成一起一伏的磨齒．上扇有磨眼，磨面的時候，谷物通過磨眼流入磨膛，均勻地分布在四周，被磨成粉末，從夾縫中流到磨盤上，過羅篩去麩皮等就得到面粉．許多農村現在還在用石磨磨面．
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