2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 第1課時 綜合法優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

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2.2.1 第1課時 綜合法 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．對任意的銳角α、β，下列不等式關系中正確的是(　　) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β 解析：∵α、β為銳角，∴0＜α＜α＋β＜π， ∴cos α＞cos(α＋β)， 又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D 2．在不等邊三角形中，a為最長邊，要想得到∠A為鈍角的結論，三邊a，b，c應滿足條件(　　) A．a(chǎn)2＜b2＋c2　　　　　　　 B．a(chǎn)2＝b2＋c2 C．a(chǎn)2＞b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2 解析：由余弦定理得：cos A＝＜0， 故b2＋c2－a2＜0， ∴a2＞b2＋c2. 答案：C 3．設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關系為(　　) A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b 解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當x＜0時，0＜b＜1. ∴a＞b. 答案：A 4．四面體ABCD中，棱AB、AC、AD兩兩垂直，則點A在底面BCD內(nèi)的射影一定是△BCD的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：如圖，設點O是點A在底面BCD內(nèi)的射影，并連接AO，則AO⊥面BCD.連接BO并延長交CD于點E. 由已知易得AB⊥CD. 又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD. ∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE. ∴O在CD的高線上，同理O在BC，BD的高線上． 答案：D 5．不相等的三個正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，則x2，b2，y2三數(shù)(　　) A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列 B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列 C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列 解析：由已知條件， 可得 由②③得代入①，得＋＝2b， 即x2＋y2＝2b2. 故x2，b2，y2成等差數(shù)列． 又由①得b2＝>ac＝ 所以b4>x2y2，故x2，b2，y2不成等比數(shù)列． 答案：B 6．設e1、e2是兩個不共線的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三點共線，則k＝________. 解析：∵A、B、C三點共線， ∴存在λ使A＝λ， 即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)． ∴λ＝2，k＝6. 答案：6 7．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0. 則cos(α－β)＝________. 解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0， ∴， 兩式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， ∴cos(α－β)＝－. 答案：－ 8．設a>0，b>0，則下面兩式的大小關系為lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0， ∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， ∴l(xiāng)g(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 答案：≤ 9．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明：∵a，b＞0，且a＋b＝1. ∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4. 當且僅當a＝b時，取“＝”號． 10．已知，，成等差數(shù)列，求證，，也成等差數(shù)列． 證明：因為，，成等差數(shù)列， 所以＋＝. 即＝，所以b(a＋c)＝2ac， 所以＋＝＝ ＝＝ ＝ ＝＝， 所以，，也成等差數(shù)列． [B組　能力提升] 1．p＝＋，q＝(m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小為(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不確定 解析：q＝ ≥＝＋＝p. 答案：B 2．(2014高考山東卷)已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A．xy＝0 B.xy＝0 C．x2y＝0 D．2xy＝0 解析：橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝x，即xy＝0. 答案：A 3．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要條件是＜x＜，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1， 由題意知(，)(a－1，a＋1)，則有， (且等號不同時成立)解得≤a≤. 答案：≤a≤ 4.如圖，在三棱錐VABC中，M、N分別是側面VAC和側面VBC的重心． 求證：MN∥底面ABC. 證明：如圖，連接VM、VN并延長，分別交AC、BC于P、Q兩點，連接PQ. 由已知可知，M、N分別是側面VAC和側面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝， 所以＝， 所以MN∥PQ. 因為MN?底面ABC，PQ?底面ABC， 所以MN∥底面ABC. 5．若實數(shù)x，y，m滿足|x－m|<|y－m|，則稱x比y接近m. (1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍． (2)對任意兩個不相等的正數(shù)a，b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab. 解析：(1)由題意得|x2－1|<3.即－30. 又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab， 所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab>0， 所以a3＋b3－2ab>a2b＋ab2－2ab>0， 所以|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|， 所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.