（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題十 直線與圓講義 理（普通生含解析）.doc

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重點增分專題十　直線與圓 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 直線方程、圓的方程、點到直線的距離T6 2017 圓的性質、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質T15 圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質T9 直線與圓的位置關系、點到直線的距離、橢圓的幾何性質T10 直線與圓的方程、直線與拋物線的位置關系T20 2016 圓的方程、點到直線的距離T4 點到直線的距離、弦長問題T16 (1)圓的方程近幾年成為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關注．此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查． (2)直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上． 保分考點練后講評 1.已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　) A．1或3　　　　　　　 　B．1或5 C．3或5 D．1或2 解析：選C　當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗知滿足這個條件． 2．[兩直線垂直]已知直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足為P(1，p)，則m－n＋p的值是(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：選B　∵直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0互相垂直， ∴＝－1，∴m＝10. 直線mx＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0， 將垂足(1，p)代入，得5＋2p－1＝0，∴p＝－2. 把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12， ∴m－n＋p＝20，故選B. 3.坐標原點(0,0)關于直線x－2y＋2＝0對稱的點的坐標是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　直線x－2y＋2＝0的斜率k＝，設坐標原點(0,0)關于直線x－2y＋2＝0對稱的點的坐標是(x0，y0)，依題意可得解得即所求點的坐標是. 4.已知直線l過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且點P(0,4)到直線l的距離為2，則直線l的方程為_________________． 解析：由得所以直線l1與l2的交點為(1,2)．顯然直線x＝1不符合，即所求直線的斜率存在，設所求直線的方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因為P(0,4)到直線l的距離為2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 [解題方略] 1．兩直線的位置關系問題的解題策略 求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負倒數(shù)．若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷． 2．軸對稱問題的兩種類型及求解方法 點關于直線的對稱 若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則線段P1P2的中點在對稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直線關于直線的對稱 有兩種情況，一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行．一般轉化為點關于直線的對稱來解決 保分考點練后講評 [大穩(wěn)定] 1.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)　　　　　　 B. C．(－2,0) D. 解析：選D　若方程表示圓，則a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化簡得3a2＋4a－4<0，解得－20)，由題意知＝，解得a＝2，所以r＝ ＝3，故圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 [解題方略]　求圓的方程的2種方法 幾何法 通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，從而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程 [小創(chuàng)新] 1.已知圓M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB為圓M的任意一條直徑，且＝－6(其中O為坐標原點)，則圓M的半徑為(　　) A. B. C. D．2 解析：選C　圓M的標準方程為(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圓心M(1,0)，則|OM|＝1，圓的半徑r＝，因為AB為圓M的任意一條直徑，所以＝－，且||＝||＝r，則＝(＋)(＋)＝(－)(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圓的半徑為，故選C. 2.向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為________． 解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為π2－2＝π－，所以向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P＝＝－. 答案：－ 增分考點廣度拓展 [分點研究] 題型一　圓的切線問題 [例1]　(1)(2019屆高三蘇州高三調研)在平面直角坐標系xOy中，已知過點M(1,1)的直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且與直線ax＋y－1＝0垂直，則實數(shù)a＝________. (2)設點M(x0，y0)為直線3x＋4y＝25上一動點，過點M作圓x2＋y2＝2的兩條切線，切點為B，C，則四邊形OBMC面積的最小值為________． [解析]　(1)由題意得，直線l的斜率存在，設過點M(1,1)的直線l的方程為y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.因為直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圓心(－1,2)到直線l的距離d＝＝，整理得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.又直線l與直線ax＋y－1＝0垂直，所以－2a＝－1，解得a＝. (2)圓心O到直線3x＋4y＝25的距離d＝＝5， 則|OM|≥d＝5， 所以切線長|MB|＝≥ ＝， 所以S四邊形OBMC＝2S△OBM≥2＝. [答案]　(1)　(2) [變式1]　本例(2)變?yōu)椋哼^點A(1,3)，作圓x2＋y2＝2的兩條切線，切點為B，C，則四邊形OBAC的面積為________． 解析：由相切可得S四邊形OBAC＝2S△OBA， 因為△OAB為直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝， 所以|AB|＝2， 即S△OBA＝2＝2， 所以S四邊形OBAC＝2S△OBA＝4. 答案：4 [變式2]　本例(2)變?yōu)椋涸O點M(x0，y0)為直線3x＋4y＝25上一動點，過點M作圓x2＋y2＝2的兩條切線l1，l2，則l1與l2的最大夾角的正切值是________． 解析：設一個切點為B，圓心O到直線3x＋4y＝25的距離為d＝＝5， 則tan∠OMB＝≤， 所以tan 2∠OAB＝ ＝≤. 故所求最大夾角的正切值為. 答案： [解題方略]　直線與圓相切問題的解題策略 直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算． 題型二　圓的弦長問題 [例2]　已知圓C經(jīng)過點A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P，Q兩點． (1)求圓C的方程； (2)過點(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值． [解]　(1)設圓心C(a，a)，半徑為r，因為圓C經(jīng)過點A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r， 即＝ ＝r， 解得a＝0，r＝2， 故所求圓C的方程為x2＋y2＝4. (2)設圓心C到直線l，l1的距離分別為d，d1，四邊形PMQN的面積為S. 因為直線l，l1都經(jīng)過點(0,1)，且l1⊥l， 根據(jù)勾股定理，有d＋d2＝1. 又|PQ|＝2，|MN|＝2， 所以S＝|PQ||MN|， 即S＝22 ＝2 ＝2≤2 ＝2＝7， 當且僅當d1＝d時，等號成立， 所以四邊形PMQN面積的最大值為7. [解題方略]　求解圓的弦長的3種方法 關系法 根據(jù)半徑，弦心距，弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率) 距離法 聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組求出兩交點坐標，用兩點間距離公式求解 [多練強化] 1．(2018全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4. ∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝2. 答案：2 2．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________． 解析：直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝， 由R2＝d2＋2，得1＝＋， 解得k＝2或， 故所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1. 答案：y＝2x＋1或y＝x＋1 3．已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，則當|PM|取最小值時點P的坐標為________． 解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝.因為|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，則解得 故當|PM|取最小值時點P的坐標為. 答案： 數(shù)學建模——直線與圓最值問題的求解 [典例]　已知圓O：x2＋y2＝9，過點C(2,1)的直線l與圓O交于P，Q兩點，則當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為(　　) A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0 B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0 C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0 D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0 [解析]　當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，則P(2，)，Q(2，－)，所以S△OPQ＝22＝2，當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)，則圓心到直線l的距離d＝，所以|PQ|＝2，S△OPQ＝|PQ|d＝2d＝ ≤＝，當且僅當9－d2＝d2，即d2＝時，S△OPQ取得最大值，因為2＜，所以S△OPQ的最大值為，此時＝，解得k＝－1或k＝－7，此時直線l的方程為x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故選D. [答案]　D [素養(yǎng)通路] 本題考查了直線與圓的最值問題，結合題目的條件，設元、列式、建立恰當?shù)暮瘮?shù)，利用基本不等式模型解決相關的最值問題．考查了數(shù)學建模這一核心素養(yǎng)． A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充要條件　　　　 　　 　B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　因為兩直線平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又當a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C. 2．已知直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為(　　) A．(3，) B．(2，) C．(1，) D. 解析：選C　直線l1的斜率k1＝tan 30＝，因為直線l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1，)． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　) A．內切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交． 4．(2018全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 5．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－2，2) D．[－3，3 ] 解析：選A　由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因為＝＋，故M，又點M在圓C上，故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線與圓相交于A，B兩點，＝＋，且點M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0. 二、填空題 7．已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝________. 解析：因為圓C：x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝ . 答案： 8．過點C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點分別為A，B，則點C到直線AB的距離為________． 解析：以OC為直徑的圓的方程為2＋(y－2)2＝2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－＝5－，化簡得3x＋4y－5＝0，所以C到直線AB的距離d＝＝4. 答案：4 9．(2018貴陽適應性考試)已知直線l：ax－3y＋12＝0與圓M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點，且∠AMB＝，則實數(shù)a＝________. 解析：直線l的方程可變形為y＝ax＋4，所以直線l過定點(0,4)，且該點在圓M上．圓的方程可變形為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心為M(0，2)，半徑為2.如圖，因為∠AMB＝，所以△AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以＝，解得a＝. 答案： 三、解答題 10．已知圓(x－1)2＋y2＝25，直線ax－y＋5＝0與圓相交于不同的兩點A，B. (1)求實數(shù)a的取值范圍； (2)若弦AB的垂直平分線l過點P(－2,4)，求實數(shù)a的值． 解：(1)把直線ax－y＋5＝0代入圓的方程， 消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0， 由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0， 即12a2－5a>0，解得a>或a<0， 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪. (2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a， 則直線l的斜率為－， 所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4， 即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB， 故圓心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0， 解得a＝，由于∈， 所以a＝. 11．已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點． (1)求圓A的方程； (2)當|MN|＝2時，求直線l的方程． 解：(1)設圓A的半徑為R. 因為圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以R＝＝2. 所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意； 當直線l與x軸不垂直時， 設直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝， 此時，直線l的方程為3x－4y＋6＝0. 所以所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. 12．在平面直角坐標系xOy中，直線x－y＋1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為. (1)求圓O的方程； (2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標軸交于點D，E，當線段DE的長度最小時，求直線l的方程． 解：(1)因為點O到直線x－y＋1＝0的距離為， 所以圓O的半徑為 ＝， 故圓O的方程為x2＋y2＝2. (2)設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0， 由直線l與圓O相切，得＝，即＋＝，則|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，當且僅當a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0. B組——大題專攻補短練 1．已知點M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍． (1)求曲線E的方程； (2)已知m≠0，設直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點．當CD的斜率為－1時，求直線CD的方程． 解：(1)設曲線E上任意一點的坐標為(x，y)， 由題意得 ＝， 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3為所求． (2)由題意知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N(1，0)． 設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，設線段CD的中點為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：y＝x－2. 設直線CD：y＝－x＋t， 由解得點P， 由圓的幾何性質，知|NP|＝|CD|＝ ， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2， 所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0， 解得t＝0或t＝3， 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3. 2．在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． 解：(1)因為圓心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上， 所以解方程組得圓心C(3,2)， 又因為圓的半徑為1， 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1， 又因為點A(0,3)，顯然過點A，圓C的切線的斜率存在， 設所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓C的圓心在直線l：y＝2x－4上， 所以設圓心C為(a,2a－4)， 又因為圓C的半徑為1， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1. 設M(x，y)，又因為|MA|＝2|MO|，則有 ＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設為圓D， 所以點M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤， 所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為. 3．在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)，當m變化時，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． 解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又C的坐標為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：由(1)知BC的中點坐標為， 可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立可得 所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3，即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． 4．(2018廣州高中綜合測試)已知定點M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點．設直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當k1k2＝3時，求k的取值范圍． 解：(1)設動點P的坐標為(x，y)， 因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1k2＝＝＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為 [－，－1)∪∪∪(1， ]．