2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第2課時(shí) 高度、角度問(wèn)題優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第2課時(shí) 高度、角度問(wèn)題 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．某次測(cè)量中，甲在乙的北偏東55，則乙在甲的(　　) A．北偏西35　　　　　 B．北偏東55 C．南偏西35 D．南偏西55 解析：如圖可知，D項(xiàng)正確． 答案：D 2．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km　　　　　　　 B.a km C.a km D. 2a km 解析：∵∠ACB＝120， AC＝BC＝a， ∴由余弦定理知 AB＝a. 答案：B 3．從某電視塔的正東方向的A處，測(cè)得塔頂仰角是60；從電視塔的西偏南30的B處，測(cè)得塔頂仰角為45，A，B間距離是35 m，則此電視塔的高度是(　　) A．5 m B．10 m C. m D．35 m 解析：作出示意圖，設(shè)塔高OC為h m. 在△OAC中，OA＝＝h， OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150， 由余弦定理求得h＝5. 答案：A 4.如圖，從山頂A望地面上C，D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別為45和30，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于(　　) A．100米　　　　　　　　 B．50 米 C．50米 D．50(＋1)米 解析：在△ACD中，CD＝100米，∠D＝30，∠DAC＝∠ACB－∠D＝45－30＝15，∴＝. ∴AC＝＝＝. 在△ABC中，∠ACB＝45，∠ABC＝90，AC＝米，∴AB＝ACsin 45＝＝50(＋1)米． 答案：D 5．一船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是(　　) A．15海里/時(shí) B．5海里/時(shí) C．10海里/時(shí) D．20海里/時(shí) 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是10海里/時(shí)． 答案：C 6.如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45，則塔AB的高是________米． 解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45，∠BCD＝15＋90＝105，∠DBC＝30，由正弦定理得＝，則BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60＝， 所以AB＝BCtan 60＝10. 答案：10 7.如圖，線段AB、CD分別表示甲、乙兩樓，AB⊥BD，CD⊥BD，從甲樓頂部A處測(cè)得乙樓頂部C的仰角為α＝30，測(cè)得乙樓底部D的俯角β＝60，已知甲樓高AB＝24米，則乙樓高CD＝________米． 解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30＋60＝90，AE⊥CD，DE＝24 米， 則AD＝＝＝16(米)， 則CD＝＝＝＝32 (米)． 答案：32 8．在紀(jì)念抗戰(zhàn)勝利七十周年閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡角為15的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60和30，且第一排和最后一排的距離為10m，則旗桿的高度為_(kāi)_______m. 解析：如圖，設(shè)旗桿高為h，最后一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則BC＝＝h.在△ABC中，AB＝10 m，∠CAB＝45，∠ABC＝105，∴∠ACB＝30，由正弦定理，得＝，故h＝30 m. 答案：30 9.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15，向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45，若CD＝50 m，山坡對(duì)于地平面的坡角為θ，求cos θ的值． 解析：在△ABC中，由正弦定理可知， BC＝＝＝50(－)． 在△BCD中，sin∠BDC＝ ＝＝－1. 由題圖，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1. 10．甲船在A處觀測(cè)到乙船在它的北偏東60方向的B處，兩船相距10海里，乙船向正北行駛，設(shè)甲船的速度是乙船的倍，問(wèn)甲船應(yīng)沿什么方向行駛才能追上乙船？此時(shí)乙船行駛了多少海里？ 解析：設(shè)AB＝10海里，兩船在C處相遇， ∠CAB＝θ，乙船行駛了x海里，則AC＝ x海里． 由題意，知∠ABC＝180－60＝120. 在△ABC中，由正弦定理，得 sin θ＝＝， ∴θ＝30或θ＝150. 由題意知θ＝30. ∴∠ACB＝180－(∠ABC＋θ)＝180－(120＋30)＝30， ∴BC＝AB＝10海里，60－θ＝60－30＝30. 故甲船應(yīng)沿北偏東30的方向行駛才能追上乙船，此時(shí)，乙船已行駛了10海里． [B組　能力提升] 1．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測(cè)得水柱頂端的仰角為45，從點(diǎn)A沿北偏東30方向前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：設(shè)水柱高度是h，水柱底端為C，則在△ABC中，∠BAC＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(負(fù)值舍去)，故水柱的高度是50 m. 答案：A 2．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) A．240(－1)m　　　　 B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析： ∵tan 15＝tan(60－45)＝＝2－， ∴BC＝60tan 60－60tan 15＝120(－1)(m)，故選C. 答案：C 3．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45，BC＝100 m，所以AC＝100m. 在△AMC中，∠MAC＝75，∠MCA＝60，從而∠AMC＝45， 由正弦定理得，＝，因此AM＝100m. 在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60， 由＝sin 60得MN＝100＝150(m)． 答案：150 4．(2015高考湖北卷)如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD＝____________m. 解析：依題意，∠BAC＝30，∠ABC＝105，在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180，所以∠ACB＝45，因?yàn)锳B＝600， 由正弦定理可得＝，即BC＝300m， 在Rt△BCD中，因?yàn)椤螩BD＝30，BC＝300. 所以tan 30＝＝，所以CD＝100m. 答案：100 5.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度． 解析：設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理， 得cos∠PBA＝，① cos∠PBC＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30(m)或h＝－30(m)(舍去)，即建筑物的高度為30 m. 6．海島O上有一座海拔1 km的小山，山頂設(shè)有一觀察站A，上午11時(shí)測(cè)得一輪船在島的北偏東60的C處，俯角為30，11時(shí)10分，又測(cè)得該船在島的北偏西60的B處，俯角為60. (1)求該船的速度； (2)若此船以不變的船速繼續(xù)前進(jìn)，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)輪船所在點(diǎn)E離海島O的距離是多少千米？ 解析：(1)如圖，在Rt△AOB和Rt△AOC中， OB＝OAcot 60＝， OC＝OAcot 30＝. 在△BOC中，由余弦定理得 BC＝ ＝， ∵由C到B用的時(shí)間為＝(h)， ∴該船的速度為＝2(km/h)． (2)在△OBC中，由余弦定理，得 cos∠OBC＝＝， ∴sin∠OBC＝＝， ∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB) ＝sin∠OBEcos∠EOB＋cos∠OBEsin∠EOB＝， 在△BEO中，由正弦定理得 OE＝＝. BE＝＝， ∴從B到E所需時(shí)間為＝(h)，即所需時(shí)間為5 min. 即該船于11時(shí)15分到達(dá)島的正西方向，此時(shí)E離海島O的距離是1.5 km.